Метод (последовательных) уступок заключается в анализе точек на границе Парето и выбора одной из них - компромиссной.

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения многокритериальных задач оптимизации методом последовательных уступок .

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Количество переменных 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество строк (количество ограничений) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Количество целевых функций 2 3 4 5 6

При этом ограничения типа x i ≥ 0 не учитывайте. Если в задании для некоторых x i отсутствуют ограничения, то ЗЛП необходимо привести к КЗЛП, или воспользоваться этим сервисом .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи

Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.

Экстремум функции двух переменных

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Объем товара Х (в партиях)	Доход G(X)
	1	2	3
0	0	0	0
1	28	30	32
2	41	42	45
3	50	55	48
4	62	64	60
5	76	76	72

Алгоритм метода последовательных уступок (компромиссов)

Вначале производится качественный анализ относительной важности критериев. На основании такого анализа критерии нумеруются в порядке убывания важности.
Ищем максимальное значение f 1 * первого критерия f=f 1 (x) на всем множестве допустимых решений. Затем назначаем величину «допустимого» снижения (уступки ) Δ 1 критерия f 1 (x) и определяем наибольшее значение f 2 * второго критерия f=f 2 (x) при условии, что значение первого критерия должно быть не меньше, чем f 1 (x)-Δ 1 . Затем назначаем величину «допустимого» снижения (уступки ) Δ 2 критерия f 2 (x) и определяем наибольшее значение f 3 * третьего критерия f=f 3 (x) при условии, что значение второго критерия должно быть не меньше, чем f 2 * - Δ 2 и т. д. Таким образом, оптимальным решением многокритериальной задачи считается всякое решение последней из задач последовательности:
1) найти max f 1 (x)=f 1 * в области x ∈ X;
2) найти max f 2 (x)=f 2 * в области, задаваемой условиями x ∈ X; f 1 (x) ≥ f 1 * -Δ 1 (6)
……………………………………………………………….
m) найти max f m (x)=f m * в области, задаваемой условиями
x ∈ X; f i (x) ≥ f i * -Δ i , i=1,...,m-1
Очевидно, что если все Δ i =0, то метод уступок находит только лексикографически оптимальные решения, которые доставляют первому по важности критерию наибольшее на Х значение. В другом крайнем случае, когда величины уступок очень велики, решения, получаемые по этому методу, доставляют последнему по важности критерию наибольшее на Х значение. Поэтому величины уступок можно рассматривать как своеобразную меру отклонения приоритета частных критериев от жесткого лексикографического.
Метод последовательных уступок не всегда приводит к получению только эффективных точек, но среди этих точек всегда существует хотя бы одна эффективная. Это следует из следующих утверждений.
Утверждение 3 . Если X ⊂ R n - множество замкнутое и ограниченное, а функции f i (x) непрерывны, то решением m-й задачи из (6) является, по крайней мере, одна эффективная точка.
Утверждение 4 . Если x * - единственная (с точностью до эквивалентности) точка, являющаяся решением m-й задачи из (6), то она эффективна.

Примеры решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок

Пример №1 . Решить методом последовательных уступок многокритериальную задачу.
f 1 (x)=7x 1 +2x 3 -x 4 +x 5 → max ,

при ограничениях
-x 1 +x 2 +x 3 =2 ;
3x 1 -x 2 +x 4 =3 ;
5x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =11;
x i ≥ 0 для i=1,2,...,5.
Упорядочим критерии согласно их нумерации, то есть будем в начале работать с критерием f 1 (x), а затем с критерием f 2 (x).
При решении примера методом искусственного базиса была получена симплекс-таблица (табл.). Возьмем ее в качестве начальной, вычислив относительные оценки для функции f=f 1 (x). Получим таблицу 10. Таблица 11 определяет точку, доставляющую функции f1(x) наибольшее значение f 1 * , равное 16.
Таблица 10. Таблица 11.

			7	0
	c в		X 1	x 2				x 4	x 2
	2	x 3	-1	1	2		x 3	1/3	2/3	3
	-1	x 4	3	-1	3		x 1	1/3	-1/3	1
	1	x 5	3	2	6		x 5	-1	3	3
		f 1	-9	5	7		f 1	3	2	16

Далее переходим к решению задачи
f 2 (x)=x 1 -5x 2 -4x 3 +x 4 → max
при ограничениях задачи, к которым добавлено новое ограничение f 1 (x)≥f 1 * -Δ:
-x 1 +x 2 +x 3 =2,
3x 1 -x 2 +x 4 =3 , (7)
5x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =11,
7x 1 +2x 3 - x 4 +x 5 ³16-Δ,
x i ≥ 0 для i=1,2,...,5.
Новое ограничение преобразуем в равенство и заменим переменные x 1 , x 3, x 5 , используя таблицу 11, выражениями
x 1 =1/3x 2 -1/3x 4 +1, x 3 =-2/3x 2 -1/3x 4 +3, x 5 =-3x 2 +x 4 +3.
В результате этих преобразований дополнительно введенное ограничение примет вид -2x 2 -x 4 +x 6 =-16+Δ. Итак, получили задачу параметрического программирования с параметром в правой части ограничений.
В качестве начальной таблицы для задачи (7) можно использовать таблицу 12, которая получена из таблицы 11 в результате пополнения ее еще одной строкой и пересчета строки относительных оценок. Решим задачу (7) для произвольного параметра Δ≥0. Для этого столбец правых частей ограничений в таблице 12 представим в виде двух столбцов z′, z″: z i 0 =z i ′+z i ″Δ. При выборе главной строки в таблице 12 следует использовать значения из столбца z′. Полученная далее таблица 13 является оптимальной при Δ=0 и при всех значениях Δ, удовлетворяющих условиям
3+(-1/9) Δ ≥ 0, 1+(-1/9) Δ ≥ 0, 3+1/3 Δ ≥ 0, 0+1/3 Δ ≥ 0.
Из этой системы неравенств получаем 0 ≤ Δ ≤ 9. При этих значениях параметра решением задачи является точка x*=(1+(-1/9)Δ, 0, 3+(-1/9)Δ, 0+1/3Δ, 3+1/3Δ).
Таблица 12. Таблица 13.

		1	-5
с в		x 4	x 2	z′	z″			x 6	x 2	z′	z″
-4	x 3	1/3	2/3	3	0		x 3	-1/9	4/9	3	-1/9
1	x 1	1/3	-1/3	1	0		x 1	-1/9	-5/9	1	-1/9
0	x 5	-1	3	3	0		x 5	1/3	11/3	3	1/3
0	x 6	3	2	0	1		x 4	1/3	2/3	0	1/3
	f 2	-2	2	-11	0		f 2	2/3	10/3	-11	2/3

При Δ > 9 таблица 13 не является оптимальной, и нужно выполнить шаг двойственного симплекс-метода с главным элементом, стоящим на пересечение второй строки и первого или второго столбцов. Получим таблицу 14, из которой видно, что при Δ > 9 решениями являются точки, доставляющие функции f 2 (x) значение –5. Таблица 14 определяет опорное решение x ** =(0,0,2,3,6).
Таблица 14.

		x 1	x 2	z′	z″
	x 3	-1	1	2	0
	x 6	-9	5	-9	1
	x 5	3	2	6	0
	x 4	3	-1	3	0
	f 2	6	0	-5	0

Найдем эти решения. Выберем главным столбец с 0-оценкой. В зависимости от Δ главной строкой будет первая или вторая строка. Если
(-9+Δ)/5 > 2, то главной строкой будет выбрана 1-я. А значит, следующей будет таблица 15. Она определяет опорное решение X=(0,2,0,5,2) , если
–19+Δ≥0. Итак, если D≥19, оптимальными решениями будут все точки выпуклой комбинации
ax ** +(1-a)x * =(0, 2-2a, 2a,5-2a,2+4a), где a∈.
Таблица 15.

		x 1	x 3	z′	z″
	x 2	-1	1	2	0
	x 6	-4	-5	-19	1
	x 5	5	-2	2	0
	x 4	2	1	5	0
	f 2	6	0	-5	0

Если (-9+Δ)/5 > 2, то главной строкой будет выбрана 2-я. А значит, следующей после таблицы 14 будет таблица 16. Таблица 16 определяет решение X=(0, (-9+Δ)/5, (19-Δ)/5, (6+Δ)/5, (48-2Δ)/5), если –19+Δ≤0. Итак, если Δ≤19, оптимальными решениями будут все точки выпуклой комбинации
ax**+(1-a)x*=(0, (1-a)(-9+Δ)/5, (19-Δ)/5+a(-9+Δ)/5, (6+Δ)/5+a(9-Δ)/5, (48-2Δ)/5+a(-18+2Δ)/5), где a∈.
Таблица 16.

		x 1	x 6	z′	z″
	x 3	4/5	-1/5	19/5	-1/5
	x 2	-9/5	1/5	-9/5	1/5
	x 5	33/5	-2/5	48/5	-2/5
	x 4	6/5	1/5	6/5	1/5
	f 2	6	0	-5	0

Окончательный результат формулируется следующим образом: решением многокритериальной задачи являются:
точки x*=(1+(-1/9)Δ, 0, 3+(-1/9)Δ, 0+1/3Δ, 3+1/3Δ), если 0 ≤ Δ ≤ 9,
точки x**=(0, (1-a)(-9+Δ)/5, (19-Δ)/5+a(-9+Δ)/5,
(6+Δ)/5+a(9-Δ)/5,(48-2Δ)/5+a(-18+2Δ)/5), если 9 < Δ ≤ 19,
точки x *** =(0, 2-2a, 2a,5-2a,2+4a), если Δ ≥ 19,
где a∈.

Пример №2 . Методом последовательных уступок найти решение задачи, считая, что критерии упорядочены по важности в последовательности {f 2 ,f 1 }, и Δ 2 =1.
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
Первая задача из последовательности (6) в данном случае имеет вид:
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
при ограничениях
-x 1 +x 2 ≤1, x 1 +x 2 ≥3, x 1 -2x 2 ≤0 , x 1 ≤4 , x 2 ≤3.
Решение этой задачи можно найти графически. Из рисунка 14 видно, что максимум критерия f 2 (x) на множестве X достигается в вершине x 5 =(4,2) и f 2 * =f 2 (x 5)=14.
Графическое решение примера №2.

Рис.
Добавим к ограничениям задачи условие f 2 ≥f 2 * -Δ и сформулируем вто­рую задачу последовательности (6):
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
-x 1 +x 2 1 , x 1 +x 2 3, x 1 -2x 2 0 , x 1 4 , x 2 3,
4x 1 -x 2 13
Ее решением (рис.) будет вершина x 4 =(4,3) и f 1 * =f 1 (x 4)=5. Так как, оптимальное решение последней задачи единственно, то в силу утверждения 5, x 4 принадлежит множеству Парето.
Отметим, что при Δ∈ методом последовательных уступок будет найдена одна из точек отрезка , а при Δ>1, одна из точек отрезка . Все эти точки и только они принадлежит множеству Парето.

Столкнувшись с необходимостью учета многокритериальности, исследователи стали искать возможные подходы к решению задач оптимального выбора при многих критериях.

Простейшим способом устранения многокритериальности це­лей является перевод задачи выбора в русло однокритериальности, например, путем объединения всех частных (локальных) показателей эффективности fj(x) в один общий (глобальный) критерий качества f(x)= F(f 1 (x) , f 2 (x) ,… f h (x)). Подобный прием носит название свертки критериев.

Каждый частный критерий отражает какое-то отдельное ка­чество варианта решения. Наилучший вариант должен характеризоваться наиболее удачным сочетанием всех этих отдельных качеств. Таким образом, поиск лучшего варианта решения сводится к отысканию экстремума единственной функции f(x)

x* arg max f(x) (3.11)

Остается только установить, как глобальное качество решения зависит от локальных качеств. Вид функции f(x) опреде­ляется тем, каким образом можно представить вклад каждого частного критерия f j (x) в общий критерий качества. Заметим, что для этого должна существовать возможность содержатель­ного сопоставления критериев.

Достаточно популярным способом служит запись глобального критерия в виде суммы локальных критериев (так называемая аддитивная свертка)

или в виде их произведения (мультипликативная свертка)

Формула (3.12) выражает принцип равномерной оптимальности. Им обычно пользуются, когда частные критерии эффективности имеют одинаковую размерность, например, выражены в денежных единицах. Тогда глобальный критерий качества решения будет представлять собой общую ценность варианта, которая слагается из ценностей его отдельных составляющих.

Формула (3.13) отражает принцип справедливого компромисса, в соответствии с которым общее качество решения должно равняться нулю, если хотя бы один из частных критериев эффективности принимает нулевое значение. Подобный подход применяется, например, для оценки общей надежности функциони­рования сложной системы, состоящей из многих частей, узлов и блоков. Интересно, что принцип справедливого компромисса был сформулирован еще английским математиком Ч. Доджсоном (более известным как английский писатель Льюис Кэрролл) в книге «История с узелками».

Существенным недостатком указанных способов свертки кри­териев является равная важность или значимость критериев для ЛПР, при которой низкие оценки по одним критериям можно компенсировать только за счет высоких оценок по другим кри­териям. Вследствие этого лучшим может оказаться вариант решения, сочетающий не самые лучшие критериальные оценки.

Чтобы избежать такого несоответствия, часто используют взвешенные свертки частных критериев эффективности вида

, (3.15),

,

где w j ≥ 0 - вес частного критерия f j (x) . Способ свертки частных критериев и значения их весов задаются ЛПР и отражают его предпочтения.

Некоторым промежуточным вариантом между крайне пессимистическими вариантами и крайне оптимистическими является критерии пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица):

где 0≤β≤- «коэффициент пессимизма» или, если хотите, «коэффициент оптимизма». При β=1 оценка превращается в минимальную, а при β=0 она максимально оптимистична. Необходимо подчеркнуть, что определение значения β – это прерогатива руководителя, и с этой точки зрения, оценка чрезвычайно субъективна. А также

где a i – коэффициенты важности критериев (весовые коэффициенты), определяемые в большинстве случае субъективно; ; с – некоторое фиксированное значение критерия f(x i), например, некоторое его усредненное значение; f(x i) - частный i- й показатель (критерий) эффективности; f j (x i) – частный i- й показатель (критерий) эффективности j -й альтернативы (проекта).

Выбор того или иного вида свертки определяется характером взаимосвязей составляющих ее критериев (равнозначные, доминирующие и т.п.), а также некоторыми специальными ограничениями на область значений свертки, вытекающими из специфики конкретной задачи и предпочтений руководителя. Если частные показатели неоднородные, то они либо сводятся к однородным, либо коэффициенты a i учитывают не только важность, но и физическую размерность показателя.

Основная трудность, возникающая при формировании и использовании обобщенных критериев, заключается в сложности определения весовых коэффициентов, на которые возложена функция адекватного отражения степени важности критерия, его физической размерности и иногда других факторов. К недостаткам обобщенных критериев следует также отнести и то, что при оценке они не позволяют учитывать часто встречающуюся иерархическую зависимость результирующего показателя от значений частных показателей.

Однако это не означает, что СППР не должна использовать этот подход к оценке эффективности управляющих решений. Система предлагает его руководителю как один из возможных вариантов.

Многокритериальная оценка альтернатив решения может быть выполнена также на основе правил выбора по Парето . Здесь предпочтительным считается такой проект, для которого не существует другого проекта лучше данного хотя бы по одному показателю и не хуже него по всем остальным.

Описанные правила отбора не позволяют учесть относительную важность критериев оценки. Они нечувствительны к степени отличия значений критериальных показателей, и вероятность ошибки существенно повышается с ростом числа критериев.

Ряд методов анализа и отбора проектов основан на том, что критерий оценки формируется на основе характеристик того или иного выделенного аспекта реализации решения (главного критерия) -затраты, время, риски, вероятности успеха и т.п. В конечном итоге такой подход приводит к постановке и решению той или иной задачи математического программирования, в которой выделенный показатель выступает в качестве критерия, а к значениям остальных показателей предъявляются определенные требования, порождающие область ограничений.

В общем случае это приводит к решению многокритериальной задачи методом последовательных уступок, когда последовательно находится оптимальное решение по каждому из упорядоченных по важности критериев с назначением руководителем на каждом шаге решения задачи уступки величины по каждому из критериев, оптимизируемых на предыдущем шаге.

Пример . Требуется выбрать лучший вариант строительства предприятия из пяти предложенных вариантов A 1 – A 5 . Проект предварительно оценивается по четырем частным показателям эффективности:

f 1 – величина ожидаемой прибыли, которую будет давать предприятие;

f 2 – стоимость строительства предприятия;

f 3 – величина экологического ущерба от строительства;

f 4 – заинтересованность жителей района в строительстве.

Для простоты будем считать, что оценки по каждому из четырех критериев даются по шкале: 5, 4, 3, 2, 1, 0 баллов. Поскольку оценки по второму и третьему критериям необходимо минимизировать, а не максимизировать, как по остальным, то вместо них введем критерии f’ 2 =5- f 2 и f’ 3 =5- f 3 . По результатам экспертизы были получены следующие оценки качества проектов:

y 1 = (4; 3; 4; 3),

y 2 = (5; 3; 3; 3),

y 3 = (2; 4; 2; 4),

y 4 = (5; 3; 2; 3),

y 5 = (4; 4; 3; 4).

Сравним вектор y 1 с остальными векторами по отношению доминирования ≥ на множестве достижимости Y а. В данном случае пары векторов y 1 - у 2 , y 1 – y 3 , y 1 – y 4 , y 1 – y 5 несравнимы по отношению доминирования. Вектор y 1 запоминается как эффективный. Далее сравнивается вектор у 2 с векторами y 3 , y 4 , y 5 . Пары векторов у 2 - y 3 , у 2 - y 5 несравнимы. Так как у 2 > y 4 , вектор у 4 удаляется из рассмотрения как доминируемый, а вектор у 2 запоминается как эффективный. Для сравнения остаются векторы y 3 и y 5 . Поскольку y 5 > y 3 , то вектор y 3 удаляется из рассмотрения как доминируемый. В итоге остаются три вектора y 1 , y 2 и y 5 , образующие паретову границу Y* С Y a исоответствующие эффективные варианты А 1 , А 2 , А 5 , среди которых и следует сделать окончательный выбор.

Чтобы еще больше сузить паретово множество Y* и выделить единственный наилучший вариант решения, необходима еще какая-то дополнительная информация, которую может дать только ЛПР.

Метод свертывания критериев предполагает преобразование набора имеющихся частных критериев в один суперкритерий.

Т.е. мы получаем новый суперкритерий F, который является функцийот частных критериев. В общем случае, функциюназывают сверткой частных критериев .

К основным этапом свертывания относятся:

1. Обоснование допустимости свертки

При обосновании допустимости свертки, мы в первую очередь должны подтвердить, что критерии, которые мы сворачиваем, должны быть однородными. Выделяют такие группы показателей эффективности;

Показатели результативности;

Показатели ресурсоемкости;

Показатели оперативности.

Критерии, которые мы сворачиваем, должны относиться к одной и той же группе, нельзя сворачивать критерии, которые относятся, например, один из них к показателям оперативности, а другой к показателям результативности. Т.е. для каждой группы свертывание частных критериев следует выполнять отдельно. При нарушении этого принципа теряется смысл критерия .

2. Нормировка критериев

Правила нормализации критериев, мы рассматривали ранее в предыдущем разделе.

3. Учет приоритетов критериев

Учет приоритетов обычно задается некоторым векторам весовых коэффициентов, которые отображают важность того или иного критерия для решаемой задачи.

4. Построение функции свертки

Для свертывания критериев, используют такие основные типы функций:

Аддитивные функции свертки;

Мультипликативные;

Агрегированные, а также могут быть другие варианты сверток.

Аддитивная свертка

Аддитивную свертку критериев можно рассматривать как реализацию принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев . В этом случае, суперкритерий обычно строятся как взвешенная сумма частных критериев

(2.9)

Весовые коэффициенты выбираются такими, чтобы их сумма была равна единицы. В методе равномерной оптимизации, который является частным случаем аддитивной свертке, весовые коэффициенты берутся равными друг другу. Иногда оказывается более удобным другой подход к определению весовых коэффициентов, их определяет соответствие с такой таблицей:

таблица 2.1.

Таблица относительной важности критериев

Мультипликативная свертка

Мультипликативная свертка базируется на принципе справедливой компенсации относительных изменений частных критериев. При этом, суперкритерий имеет вид: , произведение частных критериев, каждый из которых возведен в степень. При этом сумма весовых коэффициентовдолжна быть равна единицы, а каждый из весовых коэффициентов должен быть не отрицательной величиной.

При использовании мультипликативных критериев не требуется нормировка частных критериев, и это является их преимуществом .

Выбор между аддитивными и мультипликативными критериями определяется важностью учета абсолютных или относительных изменений значений частных критериев.

Агрегирование частных критериев используют также различные варианты агрегирование. В частности, если компенсация значений одних показателей эффективности другими недопустима, то используют функции агрегирования вида:

Для каждого частного критерия, находится его нормированное значение и умножается на весовой коэффициент. А потом из всех полученных величин выбирается либо максимальное, либо минимальное значение.

Если первые mпоказателей надо увеличить, а остальные – уменьшить, то используют функцию агрегирования вида:

(2.11)

В числители находятся произведение тех критериев, значение которых нам надо максимизировать, а в знаменателе находятся произведение тех критериев, значение которых нам надо минимизировать. И поэтому мы получаем новый критерий, который нам надо будет максимизировать .

Методы свертывания критериев широко используются в решение задач многокритериальной оптимизации. Однако они имеют также проблемы и недостатки. В частности трудно обосновать выбор метода свертывания критериев, а от выбора метода часто зависит получаемый результат. Другим недостатком является трудность обоснование выбора весовых коэффициентов, часто для этого привлекается эксперты, проводятся опросы, потом обрабатываются полученные результаты, однако это требует много времени и затраты других ресурсов. Еще одна проблема связана с тем, что эти методы, как правила дает возможность компенсировать малые значения одних критериев большими значениями других, что часто бывает неприемлемо для конкретных решений .

Рассмотрим в качестве примера такую задачу:

Перед тем как преобразовывать эти критерии в 1, мы должны привести их в однородном состоянии. Т.е. в данном случае нужно максимизировать f2→ f2" = -f2. И тогда получим: . После этого суммируем частных критериевв один, и можем дальше решить задачу обычным путем.

Также нужно учитывать и весовые коэффициенты, при этом их сумма должна быть = 1, и каждый из весовых коэффициентов должен быть неотрицательной величиной. Весовые коэффициенты распределяется по важности этих самих частных критериев . В данном случае, весовые коэффициенты будут распределяться следующим образом: 0,5; 0,2; 0,3.

После подсчета вместе с весовыми коэффициентами, мы получим целевую функцию такого вида: или.

Открываем электронную книгу Excel и, как и для решения однокритериальной задачи определяем ячейки под переменные . Для этого в ячейку А3 вводим подпись «Переменные», а соседние три ячейки В2, С2 и D2 вводим значения переменных. Это могут быть произвольные числа, например единицы или нули, далее они будут оптимизироваться. В нашем случае это единицы.

рис.2.11. Определение переменных, целевых и ограничений

В четвертой строке задаем целевую функцию. В А4 вводим подпись «Целевая», а в В4, С4, D4 наши значения.

В ячейку F6,F7и F8 вводим формулы «=B6*$B$3+C6*$C$3+D6*$D$3», «=B7*$B$3+C7*$C$3+D7*$D$3»,«=B8*$B$3+C8*$C$3+D8*$D$3» соответственно.

После открытия окна «Поиск решения» в поле «Оптимизировать целевую функцию» ставим курсор и делаем ссылку на ячейку «F4». В окне появится $F$4. В связи с тем, что целевая функция максимизируется, далее нужно проверить, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Максимум».

После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки переменных» и обводим ячейки с переменными В3, С3 и D3, выделяя ячейки с переменными. В поле появиться $B$3:$D$3.

В нижней части окна находится поле «Ограничения». Добавляем все необходимые ограничения, «F6» «» «F6», «F7:F8» «≤» и «G7:G8».

Вводим дополнительное ограничение, и получим следующую формулу «B3:D3», «», «0».

рис.2.12. Параметры поиска решения

Далее выбираем метод решения «Поиск решения линейных задач симплекс-методом». Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Найти решение». Появляется надпись, что решение найдено. Выбираем «Сохранить найденное решение» и «ОК» видим результат.

рис.2.13. Окончательный результат решения по методу свертывания критериев

Существующие методы предназначены в основном для сравнения заданных альтернатив и выбора лучшей из них. Довольно часто критерии, по которым оцениваются альтернативы, противоречивы, для них используются разные методы и шкалы оценок.

С математической точки зрения не существует идеального способа или метода решения многокритериальных задач оптимизации. Тем не менее, эти методы помогают подготовить всю необходимую для принятия решения информацию таким образом, чтобы помочь лицам принимающее решение максимально точно разобраться в ситуации и принять наиболее обоснованное решение.

Из презентаций

здесь x – альтернатива из множества Парето

fi (x ) – оценка альтернативы x по i -му критерию

Ci – коэффициенты относительной важности критериев

Использование линейной свертки

Это задачи, связанные с критериями

суммарного ущерба или прибыли ,

дохода ,

денежных или временных затрат

по годам планирования или по этапам

жизненного цикла экономических информационных систем и т. п.,

т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой

Квадратичная свертка

При решении практических задач ЛПР, как правило, ранжирует критерии в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае в качестве интегрального критерия используются различные виды сверток

, – линейная свертка ,

здесь x – альтернатива из множества W;

f i (x) – оценка альтернативы x по i-му критерию;

с i – весовые коэффициенты, с которыми оценки альтернатив входят в интегральный критерий. с i – коэффициенты значимости, или коэффициенты относительной важности критериев.

Коэффициенты с i можно найти, например, из специально организованной экспертизы: m экспертов должны расставить (ранжировать) критерии по важности:ранг 1 присвоить самому важному критерию и т.д. Пусть r ij – ранг, который присвоил j-ый экперт i-му критерию. Чтобы получить числовую оценку, введем новый коэффициент

.

Тогда коэффициент значимости i-го критерия с точки зрения j-го эксперта:

Обобщенные коэффициенты получим, усреднив оценки экспертов.

Пусть g j – компетентность j-го эксперта, тогда

.

Еще один метод назначения коэффициентов относительной важности основан на внесении предпочтений во множество критериев. Он состоит в следующем.

Пусть удается количественно выразить отношения предпочтения между критериями: критерий f i предпочтительнее критерия f j в h раз: . Тогда коэффициенты относительной важности этих критериев связаны между собой линейным уравнением C i =hC j . Это следует из теоремы:

Th. Если , то C i =hC j , C i >0, åC i =1.

Решая систему линейных уравнений, получим искомые коэффициенты.

Пример. Пусть варианты некоторой системы оцениваются по четырем критериям с пятибалльной шкалой. Значения критериевf i (х) даны в табл.13.

Пусть известно, что , f 2 ~ f 3 , .

Решение . Составим систему линейных уравнений для определения коэффициентов C i :

C 1 =1,5C 2 ; C 2 =C 3 ; C 3 =C 4 ; C 1 +C 2 +C 3 +C 4 =1;

Отсюда следует, что C 1 =3/8; C 2 =2/8; C 3 =2/8; C 4 =1/8.

В табл. 13 приведены значения интегрального критерия «Линейная свертка ».

Таблица 13

Оценки вариантов по критериям

	f 1 f 2 f 3 f 4
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6	2 5 4 5 5 3 4 3 3 2 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 3 3 4	3/8*2+2/8*5+2/8*4+1/8*5=29/8 32/8 28/8 30/8 29/8 28/8

По этому критерию лучшая альтернатива – Х 2 .

Задачи, в которых выполняются условия для использования линейной свертки, часто встречаются в практике. Это задачи, связанные с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цикла экономических информационных систем и т. п., т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой.

Свертка может быть не только линейной , но и квадратичной :

,

сверткой порядка t :

,

Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других. Чем больше значение t, тем больше степень возможной компенсации.

Например, при , т.е. когда недопустима никакая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев (равномерное «подтягивание» значение всех критериев к их наилучшему уровню), интегральный критерий приобретает вид

.

Если t →0, т.е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то интегральный критерий имеет вид

– мультипликативная функция.

При t=1 имеем линейную свертку, при t=2 – квадратичную.

В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима компенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, т.е. , тогда интегральный критерий можно использовать в виде

.

Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей ту альтернативу, для которой F(x) имеет максимальное значение .

Замечание . Входящие в интегральный критерий целевые функции имеют разную размерность и выражены в разных шкалах. Поэтому необходимо предварительно выразить все оценки в одной однородной шкале. Целесообразно использовать для этого следующий прием

,

где f i * (x) – оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале, f i max и f i min – максимальное и минимальное значения альтернатив по i -му критерию. Полученные оценки принадлежат отрезку и являются дробными, что не всегда удобно для расчетов. Поэтому можно, умножив все оценки по соответствующим критериям на наименьшее общее кратное, перейти в целочисленную шкалу. Сдвиг по шкале на общую для каждого из критериев величину позволит избавиться от отрицательных оценок.

Вариант8,19 Методы решения МКЗ при равнозначных критериях

Целью изучения данной темы является ознакомление студентов с методами многокритериального выбора.

Задачи:

Ознакомить студентов с методами измерения показателей, используемых в качестве критериев при принятии управленческих решений.

Описать подходы к формированию системы показателей, используемых при многокритериальном выборе.

Дать представление о методах многокритериального выбора и особенностях их применения.

1. Шкалы измерения

Наиболее «простой», точнее говоря, слабой является номинальная шкала. “Nome ” на латыни – имя, то есть речь идёт о шкале наименований. В этой шкале различаются только классы объектов, например, резиденты и нерезиденты. Разумеется, шкала может содержать и больше классов (отраслевой классификатор и т.п.), хотя дихотомическое деление является важным частным случаем.

Номинальная шкала используется, в основном, для решения двух задач:

• определение принадлежности к классу на основании некоторого признака (например, пол),
• выявление количества проявлений признака.

Во втором случае накопленная статистика подвергается обработке численными методами с целью анализа того или иного явления.

Более «сильной» является ординальная (порядковая) шкала. Её также часто называют шкалой рангов. Задача, решаемая с помощью ординальной шкалы, - это упорядочивание объектов (альтернатив, с точки зрения процесса принятия управленческого решения) по предпочтению. Различают отношения нестрогого предпочтения (этот объект не хуже того) и строгого («больше – меньше»).

Измерения в ранговой шкале не отвечают на вопрос «насколько больше?». Отчасти эта проблема решается увеличением числа рангов. Общая рекомендация при конструировании ранговых шкал состоит в составлении не слишком дробной шкалы, так как в противном случае затрудняется экспертное оценивание, однако количество рангов должно быть достаточным, чтобы улавливать все существенные различия.

Типичным примером измерений в ранговых шкалах являются различные рейтинги. Определённую роль играет использование этой шкалы в микроэкономике, так как позволяет снять некоторые спорные постулаты о природе ценностей.

Следует учесть, что расстояние в ранговых шкалах задаются не так, как в привычной, абсолютной. Например, один из способов введения расстояния в ранговой шкале – определение количества попарных перестановок соседних рангов, которое необходимо для получения нормативного упорядочивания.

Следующая «по силе» - интервальная шкала. Эта шкала классифицирует объекты по принципу «больше на определённое количество единиц – меньше на определённое количество единиц». Следует различать абсолютную и относительную величину интервалов. Например, если студент А решил задачу за 2 сек., а студент Б за 22 сек., то в абсолютном выражении интервал будет таким же, как и в том случае, когда студент В решает задачу за 222 сек., а Г - за 242 сек. Понятно, что «значимость» интервала в 20 сек. в рассмотренных случаях может быть различной.

Интервальная шкала даёт точное представление об отношении длин отрезков, однако в ней даже зная расстояние между 1-ой и 2-ой и 2-ой и 3-ей точкой нельзя точно указать расстояние между 1-ой и 3-ей точками, так как их взаимное расположение не определено однозначно. В интервальной шкале в этой ситуации можно делать однозначные заключения только о соотношении длин отрезков, но не их удалённости от какой-либо точки.

Абсолютная шкала получается из интервальной введением точки отсчёта. Это решает обсуждавшиеся выше проблемы. Именно для абсолютной шкалы справедливы обычно используемые на практике операции с расстояниями.

2. Требования к построению системы критериев

Наряду с проблемой измерения важной проблемой является построение системы показателей, отражающих генеральную цель. В литературе 1 сформулирован целый ряд требований, которые необходимо соблюдать, чтобы использование системы показателей было оправданным. Это требования полноты, действенности, разложимости, неизбыточности и минимальной размерности.

Полнота

Система показателей должна включать критерии, характеризующие все основные аспекты деятельности хозяйственной системы. Смысл этого требования сводится к тому, чтобы дать возможность ЛПР принять управленческое решение.

Действенность (операционность)

Используемые показатели должны быть однозначно понимаемы, измеримы и доступны оценке.

Разложимость

Это требование связано с ограниченными возможностями человека. Исследования показали, что одновременная работа с числом объектов более семи неоправданна. Таким образом, при большом числе критериев система может разбиваться на более мелкие группы показателей. Например, системы, оценивающие качество продукции, разбиваются на группы показателей, характеризующие функциональные свойства изделий, их надёжность, эргономичность, а также показатели стандартизации и унификации. Получается «дерево критериев», и ЛПР одновременно работает только с одной «веткой».

Неизбыточность

Дублирование показателей «засоряет» информационные каналы, снижает как скорость, так и качество сбора и обработки информации.

Минимальная размерность

Смысл этого требования также заключается в повышении эффективности работы ЛПР. В систему показателей должно входить минимально возможное число критериев. В данном случае это достигается за счёт снижения количества показателей благодаря агрегированию информации, отсечению не принципиальных характеристик и т.п.

3. Методы многокритериального выбора

Метод свёртки критериев

Стандартный приём «борьбы» с многокритериальным выбором это переход к однокритериальной задаче с использованием метода свёртки критериев.

Свёртка критериев означает построение интегрального показателя на основе частных критериев. Интегральный показатель I рассчитывается или как взвешенная сумма частных показателей (выражение (1) - аддитивная форма) или как их произведение (выражение (2) – мультипликативная форма), опять же нормированное на соответствующие веса (важность критериев).

K – частный критерий,

a – вес критерия, причём ,

N – количество критериев,

v - номер критерия.

Использование такого метода как свёртка критериев предполагает, что частные критерии измеряются в абсолютной шкале. Кроме того, критерии должны быть независимы друг от друга. Это означает, что справедливы выражения (3) и (4), то есть отношение предпочтения определяется либо критерием «2» - выражение (3), - либо критерием «1» - выражение (4).

(xi1, xi2) < (xi1,xj2) => (xj1, xi2) < (xj1, xj2) (3)

(xi1, xi2) < (xj1,xi2) => (xi1, xj2) < (xj1, xj2) (4)

Вес критериев, как правило, определяется экспертным методом.

Типичным примером использования метода свёртки критериев является построение интегрального показателя качества продукции.

В литературе встречается утверждение, что мультипликативная и аддитивная формы интегрального показателя эквивалентны. В подтверждение этого ссылаются на взаимную однозначность преобразования интегрального показателя из одной формы в другую, например, с использованием перехода в логарифмическую шкалу и обратно. Следует отметить, что такой переход в общем случае не сохраняет тех же самых отношений предпочтения, то есть может привести к разным выборам. Эквивалентный в смысле сохранения отношения предпочтения переход от мультипликативной формы к аддитивной требует применения весовых коэффициентов, зависящих от значения критерия 2 .

Лексикографический метод

Лексикографический метод предполагает, что имеющийся ряд критериев упорядочен по важности.

Для сравниваемых объектов сначала измеряются значения наиболее важного критерия. Предпочтительным оказывается тот объект, для которого значение этого критерия лучше.

В том случае, когда значения сравниваемых объектов по наиболее важному критерию совпадают, то переходят к сравнению на основании следующего по важности критерия.

Процедура заканчивается на той итерации, на которой удаётся упорядочить объекты по предпочтительности, или когда проведены сравнения по всем критериям.

Наверное, наиболее известный пример использования лексикографического метода – определение места команды в спортивном состязании, например, чемпионате по футболу. В этом случае победитель определяется по количеству набранных очков. В случае их равенства последовательно используются дополнительные показатели - количество побед, разность мячей, результаты очных встреч и т.п.

Выделение множества Парето

В наибольшей степени идеологии многокритериального выбора соответствует процедура выделения множества Парето (ядра графа).

Множество Парето образует набор таких объектов, что переход от одного к другому обязательно повысит значение хотя бы одного критерия и ухудшит значение минимум одного критерия. Предполагается, что каждый из критериев характеризует качественно отличный от других аспект, свойство объекта и т.п. Так как сравнение разнокачественных вещей не имеет смысла, то упорядочиванию подлежат только те пары объектов, в которых один не хуже другого по всем параметрам. Если при этом по одному или нескольким критериям один объект будет лучше другого, то говорят, что он доминирует. В множестве Парето ни один объект не доминирует над другим. Собственно, процедура нахождения множества Парето и заключается в нахождении доминирующих объектов и их исключении из рассмотрения.

В таблице 1 приведены значения двух важнейших критериев, характеризующих инвестиционные проекты: прибыль и сумма капитальных вложений для семи проектов.

Таблица 1.

Характеристика инвестиционных проектов

Показатель	Проект №1	Проект №2	Проект №3	Проект №4	Проект №5	Проект №6	Проект №7
Прибыль, млн. руб.
Кап. вложения, млн. руб.

Попарное сравнение проектов показывает, что проект №5 доминирует проект №2, а проект №1 доминирует проект №3. Эти проекты должны быть исключены из рассмотрения. Каждый из остальных проектов в каком-то смысле лучше другого оставшегося, а в каком-то хуже: или он даёт больше прибыли, но требует больших капитальных вложений, или наоборот. Проекты 1, 4, 5, 6 и 7 оптимальны по Парето. Выбор одного из них требует дополнительных соображений.

ВЫВОДЫ

Для оценки достижения цели организации используется целый ряд показателей – критериев, так как цель хозяйственной системы носит многомерный характер. Каждый из критериев должен быть количественно измерим, определён на одной из шкал измерений.

При принятии управленческих решений могут быть использованы все известные виды шкал: номинальная, ранговая, интервальная и абсолютная.

Важной задачей является построение системы показателей, отражающих генеральную цель ЛПР. В литературе сформулирован целый ряд требований, которые необходимо соблюдать, чтобы использование системы показателей было оправданным. Это требования полноты, действенности, разложимости, неизбыточности и минимальной размерности.

Наиболее распространённым методом решения многокритериальных задач является построение интегральных показателей на основе метода свёртки критериев.

Для использования метода свёртки критериев необходимо измерение значений критериев в абсолютной шкале, а также соблюдение требования независимости критериев.

Лексикографический метод решения многокритериальных задач заключается в последовательном применении упорядоченных по важности критериев.

В случае, когда разнокачественность сравниваемых объектов принципиальна, единственным адекватным подходом является выделение множества Парето.

Множество Парето образует набор таких объектов, что переход от одного к другому обязательно повысит значение хотя бы одного критерия и ухудшит значение минимум одного критерия. Выбор одного из объектов требует дополнительных соображений.

Вопросы для самопроверки

1. Какие шкалы используются для измерения значений показателей – критериев при принятии управленческих решений?
2. В каких целях используются номинальная шкала?
3. Каковы особенности измерения в ранговой шкале?
4. Какие требования предъявляются к системе показателей, являющихся критериями при принятии управленческого решения?
5. Какие существуют методы многокритериального выбора?
6. Каковы особенности процедуры свёртки критериев?

Практикумы

Название практикума	Аннотация

Презентации

Название презентации	Аннотация