Продолжаем рассматривать алгоритмы построения улыбки волатильности. В этой статье будем находить "справедливые" цены опционов при помощи модели Хестона, которая относится к так называемым моделям стохастической волатильности. Хестон предложил использовать в качестве модели базового актива систему следующих уравнений:

где - цена и волатильность базового актива соответственно, - случайные броуновские процессы с корреляцией . - это квадратичный процесс с возвратом к среднему (mean reverting) со средним значением и интенсивностью k. - среднеквадратичное отклонение волатильности, r - безрисковая ставка (для маржируемых равна 0, поэтому исключим сразу этот параметр для российского рынка).

Реальное статистическое распределение приращений цен базового актива плохо соответствует Гауссовскому распределению, на основе которого была получена формула Блэка-Шоулза. Модель Хестона может описывать разные стат. распределения, например, коэффициент может быть интерпретирован как корелляция между логарифмом приращения цены и волатильностью актива, что позволяет учитывать эффект "толстых хвостов" распределения. График плотности распределения приращения цены с разными значениями приведен в заглавии поста.

Цена европейского колл опциона для модели Хестона вычисляется по формуле:

Где

для j=1,2, где

Этот набор формул кажется сложным, однако решить их достаточно просто с помощью программы на C#, которая будет приведена ниже. Сложность составляет только вычисление интеграла с верхним бесконечным пределом в формуле для , который находится с помощью числового метода Гаусса-Лагендре в той же программе. Также, для упрощения, можно сократить число параметров, убрав из них меру риска , применив риск-нейтральный подход. В этом случае:

Функция расчета формулы Хестона на языке C#:

//a-нижний предел интеграла (равен 0) //b - верхний предел интеграла. Выбирается значение от 100 до 200, в зависимости от нужной точности //delta - вычисляется грек дельта, который равен значению Р1 в формуле Хестона double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r,double kappa,double theta, double sigma,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) { // Числовое интегрирование double int1=new double; double int2 = new double; double y; for (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Следующий шаг - определение пяти параметров (V - текущая волатильность). Для этого нужно откалибровать модель по наблюдаемым рыночным ценам опционов. Применяем стандартный метод - берем выборку цен для опционов разных страйков за определенный период времени (вместе со сроками до экспирации), при этом рыночной ценой опциона считаем среднюю цену между бидом и аском ( , и минимизируем следующее выражение, применяя нелинейный метод наименьших квадратов (МНК):

где - вектор параметров, - задаваемые веса (их выбор обсудим позже), N - размер выборки. Выражение в правой части означает,что полученные значения должны попадать в промежуток между бидом и аском наблюдаемых рыночных цен. Это ограничение, равно как и условие MathJax_Preview"> , останавливается и выдает не оптимальные значения. Таким образом, нахождение оптимальных параметров модели Хестона является нетривиальной задачей, и применяются следующие способы ее решения:

Веса можно задать в соответствии с формулой: . Это интуитивный выбор, основанный на том, что, чем шире спред, тем больше свобода выбора в значении цены опциона. Для российского рынка лучшая аппроксимация получалась у меня при выборе одинакового значения весов, равного 1, но я не брал в рассмотрение слишком дальние страйки.

Получив параметры модели Хестона, мы сможем вычислить цены опционов для любого страйка и периода до экспирации. Для наглядности мы сможем построить улыбку волатильности по значениям подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Шоулза, подставив в нее хестоновские цены опционов - см. график в начале поста.

Модель Хестона отражает реальное статистическое распределение приращений цены базового актива значительно лучше, чем это делает модель Блэка-Шоулза, в чем вы сможете убедиться, сравнивая реальные рыночные цены опционов с полученными по этой модели. Однако у нее есть один существенный недостаток, который проявляется в том, что, если до экспирации остается небольшой срок (около недели для российского рынка) цены крайних страйков модель определяет неверно, в терминах подразумеваемой волатильности - хвосты улыбки начинают расходиться:

Чтобы устранить этот недостаток мы должны перейти к применению модифицированной модели Хестона - модели Бэйтса, являющейся одной из лучших аппроксимаций, позволяющих с макимальной точностью находить "справедливые" цены опционов. Ее мы рассмотрим в следующей части цикла статей про улыбку волатильности.

Наблюдая за поведением улыбки волатильности, уже давно мучали вопросы: Почему улыбка поднимается то вверх, то вниз? Почему она изогнута именно так, а не иначе? Почему перекатывается за текущей ценой БА, причем дно улыбки справа от БА и только к экспирации подтягивается к БА и улыбка становится симметричной? Почему ветви у нее то поднимаются, то опускаются? И главный вопрос: Что является причиной возникновения улыбки волатильности? В некоторых источниках утверждают, что улыбка возникает из-за толстых хвостов распределения приращений. Решил проверить это и провести небольшое исследование.

Насколько понял теорию вопроса, чтобы посчитать свою улыбку волатильности, нужно иметь распределение вероятностей, какой будет цена БА на экспирацию (в дальнейшем - распределение цен). Если знать это распределение, то можно однозначно вычислить цены опционов на каждом страйке, и потом, используя формулу Блека-Шоулза, можно вычислить IV на каждом страйке, и получить улыбку волатильности. Как можно получить распределение цен? Решил построить его, генерируя тысячи случайных траекторий цены, начиная с текущего значения БА. Конечные точки траекторий (цена БА на экспирацию) сохраняю, и в конце смотрю, как часто цена попадала в тот или иной диапазон. Так получаю распределение цен на экспирацию. Для построения случайной траектории решил использовать распределение приращений, которое реально было на рынке (в дальнейшем - эмпирическое распределение). Вот, например, распределение приращений (на минутках) для фьючерса RTS-9.11:

На гистограмму распределения реальных приращений наложен график плотности нормального распределения. Видно, что распределение реальных приращений отличается от нормального:

• Вероятность незначительных изменений цены больше, чем в нормальном распределении;
• Вероятность средних изменений цены меньше, чем в нормальном;
• Вероятность значительных изменений цены больше, чем в нормальном (площадь под хвостами +-3*сигмы у эмпирического распределения в три раза больше чем у нормального);

Может быть улыбка волатильности возникает именно из-за этих отличий эмпирического распределения от нормального? Проверим это. Построим распределение цен на экспирацию, используя эмпирическое распределение. Но сначала немного подкорректируем его. Дело в том, что в эмпирическом распределении уже заложен тренд, который был у БА за рассматриваемый период (например RTS-9.11 за выбранный период упал с 183505 до 161190). И если использовать исходное эмпирическое распределение, то матожидание распределения цен на экспирацию будет сильно отличаться от стартовой точки траекторий. Улыбку волатильности строить по такому распределению - нельзя. Поскольку не будет выполняться колл-пут паритет. И улыбки, посчитанные отдельно для путов и для коллов, не будут совпадать. Для выполнения паритета необходимо, чтобы матожидание распределения цен на экспирацию равнялось текущей цене БА (стартовому значению для всех траекторий). Исключим трендовую составляющую из приращений (как посоветовал broker25 в этом посте) и построим подкорректированное распределение цен на экспирацию:

У этого распределения матожидание совпадает с текущим значением БА, поэтому можно рассчитывать улыбки. Посчитаем улыбку отдельно для путов и отдельно для коллов. Вот что получилось:

Черная жирная линия - улыбка волатильности, которую в тот момент транслировала биржа. Зеленая - улыбка волатильности, посчитанная по распределению цен для опционов колл. Розовая - улыбка волатильности для опционов пут.

Видно, что по краям посчитанные улыбки начинают расходиться, т.е. перестает выполняться колл-пут паритет. Но главное, посчитанные улыбки совсем не похожи на параболу. И напоминают скорее горизонтальную линию. Как же у биржевой улыбки получается парабола?

Здесь я долго бился, перепроверял расчеты, но все уточнения приводили к тому, что улыбка становилась все более похожей на горизонтальную линию. Пока не заметил, что в транслируемых биржей теор.ценах минимальная внутренняя стоимость опциона не бывает меньше 10п. Введя такую коррекцию, получил вот такую улыбку:


Это уже более похоже на биржевую улыбку. Но все равно смущает кусочно-линейная структура. Уберем коррекцию с 10п и искусственно «утяжелим» хвосты распределения цен так, чтобы это условие (внутренняя цена опциона >= 10п) выполнялось автоматически. Для такого распределения получаем вот такую улыбку:

Кажется, мы на верном пути и улыбка все ближе к биржевой. Вопрос только - как именно «утяжелить» хвосты у распределения цен? И почему собственно их нужно «утяжелять»? Ведь мы использовали распределение приращений, в котором и так хвосты были гораздо толще, чем у нормального распределения. Возможно, причина кроется в зависимости приращений. Когда мы строили очередную случайную траекторию движения БА к экспирации, то на каждом шаге очередное приращение выбиралось независимо от предыдущего. Т.е. мы исходили из принципа, что приращения в эмпирическом распределении независимы. Но так ли это в действительности?

Проведем эксперимент: после каждого значительного приращения (например, на +100п) запомним следующее приращение и посмотрим, какое получится распределение таких приращений. Вот какое условное распределение получается:

Видно, что матожидание этого распределения не ноль (0.02% от цены БА) и 60% приращений имеют положительные значения. Т.е. в 60% случаев после роста вверх на 100п и более, на следующем баре движение вверх продолжалось и в среднем было примерно 30-40п (скальперам - на заметку!). Т.е. наш экспресс-анализ показывает, что приращения нельзя считать независимыми. И для генерации случайной траектории движения цены нужно не просто случайно выбирать очередное приращение, а использовать при этом некие зависимости.

За смещение дна отвечает корреляция между ценой и волатильностью. То что мы наблюдаем для опционов на индекс - следствие отрицательной корреляции между приращениями цены фьючерса и приращениями его волатильности...

Попробуем смоделировать это. Т.е. будем использовать не фиксированное распределение приращений, а динамически меняющееся, в зависимости от того: растет текущая траектория цены или падает. Если растет, будем постепенно снижать волатильность. Если падает - будем повышать волу. Вот какое распределение цен получается при таком моделировании:

Видно, что теперь левая сторона распределения более растянутая, поскольку для ее построения использовалось более волатильное распределение приращений. Посмотрим теперь на улыбку, которая получается при таком распределении цен:


У улыбки справа возникла небольшая загогулина, видимо, у распределения цен справа недостаточно толстый хвост получился. Но главное, что утверждение Олега подтвердилось! Дно действительно сместилось вправо. Если посмотреть в динамике, то дно у такой улыбки будет также, как и у биржевой по мере приближения к экспирации подтягиваться к БА.

Итак, вот ответы на исходные вопросы:

1. Отличие эмпирического распределения приращений от нормального и его толстые хвосты не является причиной возникновения улыбки.
2. Улыбка возникает из-за толстых хвостов распределения цен на экспирацию.
3. Скорее всего, эти толстые хвосты возникают из-за зависимости приращений в эмпирическом распределении.
4. Вертикальное положение улыбки зависит от сигмы распределения приращений: распределение с большей сигмой будет поднимать улыбку вертикально вверх, с меньшей - опускать вниз.
5. Наклон ветви улыбки зависит от «тяжести» хвоста распределения цен: чем «тяжелее» хвост, тем больше угол наклона соответствующей ветви улыбки.
6. Смещение дна улыбки вправо связано с отрицательной корреляцией между ценой БА и его волатильностью.

Вот такое исследование и такие выводы получились. Буду рад любой критике или новым идеям.

Волатильность улыбки - это общая форма графика, которая возникает в результате построения цены исполнения и подразумеваемой волатильности группы опций с одинаковой датой истечения. Улыбка улыбки так названа, потому что она похожа на человека, улыбающегося. Подразумеваемая волатильность проистекает из модели Блэка-Шоулза, а волатильность корректируется в зависимости от зрелости опциона и степени, в которой она находится в деньгах (деньги).

РАЗГРУЗКА «Улыбка волатильности»

изменения в цене исполнения опциона влияют на то, является ли опция «в деньгах» или «вне денег». Чем больше вариант в деньгах или из-за денег, тем больше становится его подразумеваемая волатильность. Взаимосвязь между подразумеваемой волатильностью опциона и ценой исполнения можно увидеть на графике ниже.

Загадка волатильности Улыбка

Уловка неудобства свойственна, потому что она не предсказывается моделью Блэка-Шоулза, которая используется для ценовых опционов и других производных. Модель Блэка-Шоулза предсказывает, что предполагаемая кривая волатильности является плоской, когда она построена по сравнению с ценой исполнения. Ожидалось, что подразумеваемая волатильность будет одинаковой для всех вариантов, истекающих в ту же дату, независимо от цены исполнения.

Объяснения волатильности Smile

Есть несколько объяснений волатильности улыбки. Волатильность улыбки может быть объяснена спросом инвесторов на варианты с той же датой истечения срока, но разрозненные цены исполнения. Опционы «вне денег» и «вне денег» обычно более желательны инвесторами, чем опционы «на деньги». По мере того, как цена опциона увеличивает все остальное, увеличивается волатильность базового актива. Поскольку увеличение спроса приводит к росту цен на такие варианты, подразумеваемая волатильность для этих вариантов, по-видимому, выше. Еще одно объяснение парадигмы волатильности, обусловленной загадочной забастовочной ценой, заключается в том, что варианты с ценами на забастовки все более далеки от спотовой цены базового актива для экстремальных рыночных движений или событий черных лебедей. Такие события характеризуются крайней волатильностью и повышением цены опциона.

Последствия для инвестиций

Волатильность улыбки используется при анализе ряда инвестиций. Он не может быть непосредственно наблюдаться на внебиржевых валютных рынках, хотя инвесторы могут использовать волатильность и данные о рисках для отдельных валютных пар для создания волатильной улыбки для конкретной цены исполнения. Производные акции показывают пары цен и волатильности, что позволяет легко создавать улыбку.

Волатильность улыбки была впервые замечена после краха фондового рынка 1987 года, и ее раньше не было. Это может быть результатом изменений в поведении инвесторов, таких как страх перед очередным крахом или черным лебедем, а также структурные проблемы, которые противоречат предположениям о покупке опционов Black-Scholes.

Согласно допущениям модели Блэка-Шоулза, базисный актив характеризуется постоянным уровнем волатильности. Если эта посылка верна, то опционы на данный актив должны обладать одинаковой внутренней волатильностью вне зависимости от цен исполнения и сроков истечения контрактов. Однако практика показывает, что опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Аналогично разной внутренней волатильностью характеризуются опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Если для опционов с одним сроком истечения контрактов построить график зависимости между ценой исполнения и внутренней волатильностью, то он покажет, что эта зависимость является или квадратичной или монотонной. График квадратичной зависимости напоминает улыбку (см. рис. 12.3). Поэтому такая зависимость между ценой исполнения и внутренней волатильностью получила название “улыбки волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. До финансового кризиса октября 1987 г. улыбка волатильности была не сильно выражена. После кризиса она приобрела более выпуклую книзу форму и для ряда рынков перестала быть симметричной.
Условия паритета европейских опционов колл и пут предполагают, что они имеют одинаковое значение внутренней волатильности. Иначе открывается возможность совершить арбитражную операцию. Приблизительное равенство внутренних волатильностей выдерживается и для американских опционов. Поэтому график улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту характерна улыбка волатильности, представленная на рис. 12.3, т. е. она достаточно симметричена относительно опциона АТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. По сравнению с логнормальным распределением вероятностное распределение валютного курса с учетом данной формы улыбки волатильности характеризуется более толстыми хвостами и большей островершинностью. Это говорит о том, что валютный курс в большей степени испытывает сильные и слабые колебания, чем изменения средней степени. Улыбка волатильности также свидетельствует о том,

что инвесторы в равной степени страхуются как от роста, так и падения курса валюты.
Улыбка волатильности валютных опционов показывает, что опционы с большим выигрышем и большим проигрышем стоят на рынке дороже, чем это предполагается формулами, основанными на логнормальном распределении.
[
о I

АТЫ х
Рис. 12.3. Улыбка волатильности (а~ внутренняя волатильность, X- цена исполнения, А ТМ - опцион без выигрыша)
Объяснение формы графика улыбки волатильности можно связать с действиями центрального банка, который стремится поддерживать курс валюты своей страны на определенном уровне с помощью валютных интервенций. В то же время, при активном давлении игроков на валюту действия ЦБ могут оказаться безуспешными. В этом случае валютный курс качнется в одну сторону. Если же ЦБ выстоит, то курс может отклониться в противоположную сторону. Поэтому существует большая вероятность как стабильности курса, так и его значительных изменений.
Г рафик улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой (см. рис. 12.4). Вследствие его формы график могут назвать Ухмылкой волатильности”. Такой форме улыбки волатильности соответствует вероятностное распределение цены базисного актива, которое имеет более толстый левый хвост, более тонкий правый хвост и оно более островершинно по сравнению с логнормальным распеределением. Это говорит о том, что опцион колл с большим выигрышем и опцион пут с большим проигрышем будут стоить больше, чем это предполагается формулой Блэка-Шоулза, а опционы колл с большим проигрышем и пут с большим выигрышем соответственно меньше. Данная форма улыбки волатильности свидетельствует о том, что продавцы опционов считают более вероятным понести потери от продажи опционов пут с проигрышем, чем от опционов колл с проигрышем.
По мнению М. Рубинштейна возможное объяснение такой формы графика улыбки волатильности состоит в том, что после финансового кризиса 1987 г. участники рынка в большей степени стали опасаться повторения подобной ситуации. Поэтому они дороже оценивают опционы с более низкой ценой исполнения. Эту причину он назвал "кра- шофобией" - от английского слова “сгазЬрЬоЫа", т. е. боязнь краха.

Рис. 12.4. Ухмылка волатильности для акций и индексов

Еще одно объяснение можно связать с эффектом финансового рычага, т. е. соотношением между заемным и собственным капиталом компании. При росте курса акции финансовый рычаг уменьшается. В результате акция становится менее рискованной, и стандартное отклонение ее доходности падает. В случае падения цены бумаги финансовый рычаг возрастает, и увеличивается рискованность акции. Волатильность акции растет. Таким образом, в рамках данного подхода волатильность акции можно рассматривать как убывающую функцию ее цены.
Форма графика улыбки волатильности зависит от времени, которое остается до истечения опционов. В большинстве случаев она становится менее выраженной по мере увеличения срока действия контрактов.
Угол наклона кривой волатильности может служить для прогноза будущего направления движения цены базисного актива. Если кривая характеризуется сильным отрицательным наклоном, существует большая вероятность цены пойти вниз. Если наклон кривой положительный, то ожидают роста цены. Если форма кривой близка к прямой линии, то существенного движения цены не ожидается.
Для опционов ATM строят график зависимости между сроком истечения контрактов и внутренней волатильностью - он называется графином временной структуры волатильности. В долгосрочном плане динамика стандартного отклонения доходности базисного актива характеризуется возвращением его к определенному устойчивому среднему долгосрочному уровню (процесс mean reversion). Поэтому, если текущее стандартное отклонение доходности базисного актива ниже уровня его исторического среднего значения, то временная структура внутренней волатильности будет иметь восходящий характер. Если оно выше этого значения, то временная структура будет иметь нисходящий характер.
Обычно внутренняя волатильность для краткосрочных опционов больше, чем для долгосрочных, т. е. внутренняя волатильность краткосрочного опциона в большей степени зависит от движения цены базисного актива в течение торгового дня. Поэтому кривая временной структуры волатильности обычно имеет отрицательный наклон. Чем круче кривая, тем больше вероятность того, что в краткосрочном периоде возможно более сильное колебание цены базисного актива.
В динамике внутренней волатильности опционов замечен такой интересный факт. Она растет в преддверии важных экономических событий, которые ожидаются на рынке, например, сообщениях о макроэкономических показателях развития страны. После их обнародования она имеет тенденцию к уменьшению. Это можно объяснить тем, что до момента сообщения информации на рынке возрастает степень неопределенности по сравнению с обычными торговыми днями, а значит и риск торговли опционами. После сообщения информации неопределенность снижается, что вызывает уменьшение и внутренней волатильности опционов. Иногда это может сопровождаться ростом фактического стандартного отклонения доходности базисного актива.
В начале данной главы мы отметили, что внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно стандартного отклонения доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. Однако насколько верен такой прогноз. Можно ожидать, что в среднем внутренняя волатильность будет переоценивать фактическую будущую волатильность актива, поскольку она включает в себя еще премию за риск для участника опционного контракта.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно волатильности доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. В основе ее расчета лежит метод подстановки.
Опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Разной внутренней волатильностью характеризуются и опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Зависимость между ценой исполнения для опционов с одним сроком истечения и внутренней волатильностью назвается “улыбкой волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. График улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту улыбка волатильности достаточно симметрична относительно опциона ЛТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. График улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой.
Зависимость между сроком истечения опционов АТМи внутренней волатильностью называется графиком временной структуры волатильности.

Структурированный продукт (англ. structured product) – сложный комплексный финансовый инструмент, финансовая стратегия, базирующаяся на более простых базовых финансовых инструментах.
Более простой вариант - "структурный продукт"
Для торговли улыбкой волатильности именно такие продукты и нужны- базирующие на более простых инструментах.
Сама по себе улыбка волатильности является характеристикой структуры подразумеваемой волатильности(IV) и отдельно не торгуется.
В чем природа "улыбки волатильности"?
IV опциона вне денег составляет ту величину, которая будет при падении рынка до уровня опциона. Например, при значении SPX 1379 на закрытие 9 ноября IV опциона на рынке 1375 put Jan = 18.6%, а опциона 1200 put Jan=25.3%, 1000 put Jan=33.1% и т.д
Т.е если рынок падает до значения 1000, то волатильность базового актива вырастет по прогнозу до 33.1.Даже навскидку по истории SPX можно увидеть, что летом 2011(не говоря о 2008) при падении до 1100 историческая волатильность выросла до 40%. При падении до 1000 можно смело добавить еще процентов 10%.
Их этого примера можно сформулировать вопрос в более простой форме- Какова будет скорость мяча, пущенного с горы, когда он докатится до ее основания? Ответ понятен- надо знать длину склона и угол наклона.Для рынка это означает знать а)сколько будет продолжаться падение по времени б) с какой интенсивностью. Ни а) ни б) точно знать никто не может(мы исходим их этого предположения), но тем не менее IV(скорость мячей) опционам присваивают.Присваивают на основании предыдущей ближней истории - как долго и с каким наклоном.
Во-1, такая методика спорна, во-2, единой методики оценки нет(какой период брать)
Отсюда вывод, который можно использовать практически. Улыбки волатильности будут колебаться и искать свое справедливое место.
Если взять группу связанных активов, то можно использовать то обстоятельство, что одни улыбки волатильности отстают, другие напротив обгоняют.
Например, самая большая группа активов, связанных с самим SP500- тут и ETF и ETN и furures -SRS,UPRO,SSO,SPXU,VIX,VXX,VIXM... всего не менее двадцати производных с опционами по отношению к SPX
Плюс еще два-три десятка на подобные индексы-Nasdaq,Dow,Russel
Все это множество производных имеет разные IV и разные улыбки волатильности, которые двигаются с разной скоростью(скорость, меняющая кривизну волатильности) и позволяет составлять более сложные продукты из более простых- продавать улыбку волатильности и страховать ее купленной улыбкой волатильности.
Возможные опционные техники по улыбке- покупка /продажа одиночного опциона, покупка/продажа вертикального спреда, покупка /продажа рэтио спреда, покупка/продажа опционной змеи и плюс перекрестные варианты между этими техниками.
Например, улыбки волатильности БА из группы производных по SP500
1 вариант по VIХ, 2 по SDS
VIX имеет интересную особенность- рынок знает, что он не может расти бесконечно и поэтому эта "сила притяжения" притягивает и улыбку волатильности

Совмещение одного с другим позволяет получить картину графика прибыли/убытков похожего на бесплатный опцион пут

Все это изобилие возможных инструментов и техник позволяет открыть новую линию- построение структурных продуктов для институциональных инвесторов. Доходность не столь высокая, но и рыночные риски можно минимизировать до нуля. 15-20% годовых с практически нулевым рыночным риском несколько предпочтительнее, чем 3-4% годовых на депозите