для n =0, 1, ..., (N /2)–1, когда N четное, и для n =0, 1,..., (N –1)/2, когда N нечет­ное, то цифровой фильтр будет обладать линейной фазовой характеристикой.

В большинстве случаев именно потребность в линейной фазе или постоянном групповом времени вызывает необходимость применения цифровых КИХ-фильтров.

1. Метод частотной выборки.

Заданный уравнением (33) цифровой КИХ-фильтр имеет эквивалентное ДПФ-преобразование вида:

где k =0, 1, 2, …, N –1. Используя непосредственно данные соотношения (38), можно получить подходящую КИХ-передаточную функцию из уравнения (37). Эта методика обеспечивает совпадение полученной и требуемой частотных характеристик в точках дискретизации q =2pk /N для k =0, 1, 2,..., N –l.

2. Метод взвешивания.

Поскольку частотная характеристика Н (е j q ) любого цифрового фильтра представляет собой периодическую функцию частоты q , она имеет разложение в ряд Фурье:

,

(39)

где .

(40)

Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье h (n ) фактически представляют собой импульсную характеристику цифрового фильтра.

Одним из возможных способов получения цифровых КИХ-фильтров, аппроксимирующих функцию Н (е j q ), является усечение бесконечного ряда (39) до конечного числа членов. Однако из хорошо известного явления Гиббса следует, что усечение бесконечного ряда вызывает выбросы и колебания в требуемой частотной характеристике до и после любой точки разрыва. Кроме того, величина этих выбросов и колебаний не уменьшается с увеличением длины последовательности при условии сохранения ее конечности. Это по существу означает, что прямое усечение уравнения (39) для получения аппроксимации цифрового КИХ-фильтра не обеспечивает хороших результатов.

Метод взвешивания используется для получения конечных весовых последовательностей w (n ), называемых окнами, которые модифицируют коэффициенты Фурье в уравнении (39) для получения требуемой импульсной характеристики h d (n ) конечной длительности, где:

а w (n ) – последовательность конечной длительности, т. е. w (n )=0 для n >N и n <0. Из соотношения (41) следует, что результирующая импульсная характеристика h d (n ) также имеет протяженность N отсчетов.

Поскольку умножение двух последовательностей во временной области эквивалентно свертке двух частотных характеристик в частотной области, метод взвешивания обеспечивает сглаживание выбросов первоначальной частотной характеристики, т. е. подавление ее отклонений и пульсаций. Недостатком является расширение переходной полосы.

Для завершения этого подраздела приведем некоторые характерные функции окна:

а) прямоугольное окно:

б) окно Бартлетта или треугольное окно:

в) окно Ханна:

Как и в случае аналоговых фильтров, цифровые БИХ-фильтры не могут обеспечить совершенные линейные фазовые характеристики. В противоположность им цифровые КИХ-фильтры могут быть рассчитаны для обеспечения линейных фазовых характеристик. Кроме того, цифровые КИХ-фильтры всегда устойчивы. Это положительные качества цифровых КИХ-фильтров. К отрицательным чертам относится то, что исполнение цифрового КИХ-фильтра требует большего числа вычислений и большего числа цифровых элементов. Однако во многих ситуациях требуются цифровые КИХ-фильтры для выполнения тех задач, которые невозможно решить на основе цифровых БИХ-фильтров, а именно: получение фильтров с линейной фазой и многоскоростных фильтров, где входной и соответствующий выходной сигналы дискретизированы на разных скоростях.

2.3.3 Представление цифровых фильтров на z- плоскости.

Цифровой фильтр может быть синтезирован путем размещения полюсов и нулей передаточной функции на z- плоскости, основанном на следующих правилах:

1. Полюса и нули должны быть либо действительными, либо иметь комплексно-сопряженную пару.

2. Полюс в точке z=0 оказывает влияние на фазо-частотную характеристику фильтра и не изменяет амплитудно-частотную.

3. Полюс (или ноль) на единичной окружности означает, АЧХ на данной частоте бесконечно возрастает (или обращается в ноль).

4. Полюс вне единичной окружности означает, что фильтр нестабилен, т.е. отклик фильтра на импульс не затухает, а возрастает.

Амплитудно-частотная характеристика и представление на z- плоскости цифрового полосовой фильтр 6-го порядка, где:

– ноль, –полюс.

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ И ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Целью работы является генерация сигнала, состоящего из нескольких гармоник, в системе MATLAB 6.1 и исследование в приложении действия фильтров нижних, верхних частот, полосовых и режекторных фильтров на этот сигнал.

Первой задачей является генерация сигнала. Для этого запустите MATLAB 6.1. В начале создания некоторого сигнала зададим вектор-столбец времени t. Для этого в окне Command Window наберите строку:

>> t=(0:.01:2)’;

Эта команда задает изменение t от 0 до 2 с шагом 0,01 и обеспечивает дискретизацию сигнала по времени.

Теперь зададим вектор некоторой функции y(t) , которая представляет собой сумму синусоиды с амплитудой 1 и частотой 1 Гц с синусоидой, имеющей амплитуду 0.25 и частоту 3 Гц:

>> y=sin(2*pi*1*t)+0.25*sin(2*pi*3*t);

Обратите внимание на то, что в этом выражении t – вектор, а потому и y тоже будет вектором. Частота f =1 Гц в первой компоненте сигнала указана в явном виде (как 1) только ради наглядности. Полезно учесть, что в большинстве расчетов MATLAB не использует размерные величины, поэтому лучше сразу привыкнуть к безразмерным величинам.

Теперь можно задать построение графика y(t) :

>> plot(t,y);

Обрабатывать сигналы удобно используя приложение Signal Processing Tool (SPTool) , которое вызывается следующей командой:

Чтобы импортировать сохраненный нами сигнал в это приложение выберите в меню File пункт Import… В раскрывшимся окне поставьте переключатель Source в положение From Workspace . В поле Workspace Contents выберите строку, в которой записано имя функции описывающей сигнал (в данном примере это y ), и нажмите на верхнюю кнопку со стрелкой. В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации. Эта величина обратна шагу изменения времени t , заданному при формировании сигнала (в данном примере шаг изменения t равен 0,01, а частота дискретизации, следовательно, равна 100).

В поле Name записано имя, под которым будет значиться данный сигнал в приложении SPTool . На данной стадии это имя можно изменить по собственному усмотрению. Нажмите кнопку Ok .

Теперь в списке Signals наряду с именами встроенных сигналов появилось имя импортированного сигнала. Нажав кнопку View под списком Signals , можно посмотреть график выделенного сигнала.

В данном приложении можно проектировать и использовать цифровые фильтры для обработки сигналов. В списке Filters записаны имена трех встроенных фильтров. При нажатии кнопки View под списком Filters , появится окно Filter Viever . В нем можно посмотреть:

АЧХ-фильтра (амплитуду можно задать либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе либо в децибелах; частоту – либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе);

ФЧХ-фильтра (угол можно задать либо в радианах, либо в градусах; частоту – либо в линейном, либо в логарифмическом масштабе);

Групповое время задержки фильтра;

Нули и полюса фильтра;

Отклик на единичный импульс.

Нажав на кнопку New , получаем возможность проектирования фильтров. Кнопка Edit дает возможность редактировать ранее созданные фильтры. В раскрывшемся окне Filter Designer задаются параметры фильтра, производится расчет порядка фильтра и вывод АЧХ.

В поле Sampling Frequency введите частоту дискретизации обрабатываемого сигнала. В поле Algorithm можно выбрать один из следующих видов цифровых фильтров:

КИХ-фильтр Ремеза;

КИХ-фильтр с минимальным среднеквадратическим отклонением;

КИХ-фильтр с окном Кайзера;

БИХ-фильтр с аппроксимацией Баттерворта;

БИХ-фильтр с аппроксимацией Чебышева;

БИХ-фильтр с аппроксимацией инверсной Чебышева;

БИХ-фильтр с эллиптической аппроксимацией.

Выбрав пункт Pole/Zero Editor можно задать с помощью мыши или вводя координаты на Z -плоскости полюса и нули передаточной функции.

Порядок фильтра либо рассчитывается (если стоит птичка в поле Minimum Order ), если вводится в поле Order (если птичка снята). В данной работе порядок фильтров будет рассчитываться.

В поле Type задается тип фильтра: ФНЧ, ФВЧ, полосовой или режекторный фильтр.

Ниже вводятся граничные частоты и затухания полос пропускания и задерживания.

Все вносимые изменения будут тут же отображаться на графике, если поставить птичку в поле Auto Design .

Чтобы отфильтровать сигнал, выберите его в списке Signals , затем в списке Filters выберите фильтр и нажмите на кнопку Apply . В раскрывшимся окне введите (или оставьте введенное по умолчанию) имя отфильтрованного сигнала. Нажмите Ok . Теперь это имя добавилось в списке Signals . Посмотреть график отфильтрованного сигнала можно описанным выше способом.

Задание

1. Сгенерируйте сигнал, состоящий из трех гармоник с частотами 1 , 3, и 5 Гц, имеющих амплитуды 1, 0.5 и 0.75 соответственно. Импортируйте этот сигнал в приложение SPTool и отфильтруйте его так, чтобы:

а) выделить первую гармонику;

б) выделить вторую гармонику;

в) выделить третью гармонику;

г) подавить только вторую гармонику;

используя для этого фильтры нижних, верхних частот, полосовой и режекторный (заградительный) фильтры.

2. Создайте БИХ-фильтр с аппроксимацией Баттерворта. Не меняя параметров фильтра, измените аппроксимацию с Баттерворта на Чебышева, затем на инверсную Чебышева и эллиптическую. Как при этом меняется АЧХ и порядок фильтра.

3. Создайте полосовые БИХ- и КИХ-фильтры с одинаковыми параметрами. Просмотрите АЧХ и ФЧХ данного фильтра. Сравните АЧХ, ФЧХ и порядки полученных фильтров.

4. Сформируйте два синусоидальных сигнала частотой 10 Гц и 20 Гц, длительностью 5 секунд и частотой дискретизации 1000 Гц.

Создайте полосовой БИХ-фильтр с аппроксимацией Чебышева со следующими параметрами:

Частота дискретизации – 1000 Гц;

Левая граничная частота полосы задерживания – 2 Гц;

Левая граничная частота полосы пропускания – 5 Гц;

Правая граничная частота полосы пропускания – 495 Гц;

Правая граничная частота полосы задерживания – 498 Гц;

Максимальное затухание в полосе пропускания – 1дБ;

Минимальное затухание в полосе задерживания – 60дБ.

Создайте полосовой КИХ-фильтр Чебышева (Equiripple FIR ) с аналогичными параметрами.

Отфильтруйте сформированные сигналы с помощью созданных фильтров. Сравните сдвиг фазы между сигналами до фильтрации и после при использовании БИХ- и КИХ-фильтра.

5. С помощью редактора Pole/Zero Editor синтезируйте:

а) фильтр нижних частот;

б) фильтр верхних частот;

в) полосовой фильтр;

г) режекторный (заградительный) фильтр.

6. Запустите приложение Filter Design & Analysis Tool с помощью команды

В данном приложении сформируйте полосовой КИХ-фильтр использую метод взвешенных функций (FIR Window ) со следующими параметрами:

Порядок фильтра – 50;

Частота дискретизации – 2000 Гц;

Левая граничная частота – 250 Гц;

Правая граничная частота – 750 Гц.

Определите использование какой оконной функции дает наибольшее затухание передаточной функции на частоте 200 Гц. Какой минимальный порядок фильтра, передаточная функция которого имеет затухание 40 дБ на частоте 200 Гц?

Контрольные вопросы

1. Назовите 4 основных вида аналоговых фильтров-прототипов.

2. Какие фильтры являются рекурсивными (БИХ), а какие нерекурсивными (КИХ)?

3. Что такое групповое время задержки?

4. Назовите методы расчета БИХ-фильтров.

5. Достоинства и недостатки метода взвешивания при проектировании КИХ-фильтров.

6. Преимущества и недостатки БИХ- и КИХ-фильтров.

7. Как необходимо включать фильтры при создании эквалайзера.

КИХ-фильтр (фильтр с конечной импульсной характеристикой), называемый также нерекурсивным, - это фильтр, импульсный отклик которого содержит лишь конечное число ненулевых отсчетов. Такой импульсный отклик всегда абсолютно суммируем, и, следовательно, КИХ-фильтры всегда устойчивы. КИХ-фильтры имеют также то преимущество, что их работу легче понять как в одномерном, так и в многомерном случае.

БИХ-фильтр (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой), или рекурсивный, - это фильтр, входной и выходной сигналы которого удовлетворяют многомерному разностному уравнению конечного порядка. Такие фильтры могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми, однако во многих случаях они оказываются проще в реализации, чем эквивалентные КИХ-фильтры. Синтез двумерного рекурсивного фильтра радикально отличается от синтеза одномерного фильтра. Отчасти это связано с возрастанием сложности обеспечения устойчивости. Разностные уравнения и БИХ-фильтры составляют предмет гл. 4 и 5.

Одно из важнейших преимуществ КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами заключается в возможности синтеза и практической реализации КИХ-фильтров с чисто вещественными частотными откликами. Такие фильтры называются фильтрами с нулевой фазой. В частотной области условие нулевой фазы можно выразить следующим образом:

Выполнив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (3.1), для импульсного отклика фильтра с нулевой фазой получим требование симметрии в пространственной области

. (3.2)

Очевидно, что КИХ-фильтр может удовлетворять этому условию, если центр его опорной области совпадает с началом координат.

Фильтры с нулевой фазой важны для многих приложений цифровой обработки многомерных сигналов. Например, при обработке изображений фильтры с ненулевой фазой могут привести к разрушению линий и границ. Чтобы понять, почему это так, вспомним из нашего обсуждения преобразований Фурье, что любой сигнал можно представить в виде суперпозиции комплексных синусоид. Линейный инвариантный к сдвигу фильтр с нетривиальным частотным откликом будет избирательно усиливать или ослаблять некоторые из этих синусоидальных компонент, а также задерживать некоторые компоненты по отношению к другим. На любой частоте величина задержки зависит от значения фазового отклика. Нелинейный (разовый отклик приводит, таким образом, к рассеянию строго согласованных синусоидальных компонент сигнала, составляющих контрастные точки, линии и границы.

Фильтр с нулевой фазой имеет и другие преимущества. В силу вещественности его частотного отклика упрощается синтез фильтра. К тому же симметрию импульсного отклика фильтра можно использовать при его реализации для уменьшения требуемого числа умножений.

цифровой обработка фильтр шум

Существует два основных типа цифровых фильтров, два программных алгоритма: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Как следует из терминологии, эта классификация относится к импульсным характеристикам фильтров.

КИХ-фильтры

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) - один из видов электронных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра - некая константа. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенную линейную фазовую характеристику). Но высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с большим числом операций умножения с накоплением и поэтому требуют использования быстрых и эффективных процессоров.

При нулевых значениях коэффициентов am уравнение (2.2) переходит в уравнение линейной дискретной свертки функции x(k) с оператором bn:

y(k) = bn x(k-n). (2.3)

Значения выходных отсчетов свертки (2.3) для любого аргумента k определяются текущим и "прошлыми" значениями входных отсчетов. Такой фильтр и называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра. Окно фильтра составляет N+1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не может опережать входного. Каузальный фильтр может быть реализован физически в реальном масштабе времени. При k

При обработке данных на ЭВМ ограничение по каузальности снимается. В программном распоряжении фильтра могут находиться как "прошлые", так и "будущие" значения входной последовательности отсчетов относительно текущей точки вычислений k, при этом уравнение (2.3) будет иметь вид:

y(k) =bn x(k-n). (2.4)

При N" = N фильтр называется двусторонним симметричным. Симметричные фильтры, в отличие от односторонних фильтров, не изменяют фазы обрабатываемого сигнала.

Реакция НЦФ на единичный входной импульс (а равно и на любой произвольный входной сигнал) всегда конечна и ограничена размером окна фильтра, поэтому такие фильтры и называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных.

Представим, что на одной полоске бумаги выписаны по порядку сверху вниз значения данных x(k) ? sk (см. рис. 6). На второй полоске бумаги находятся записанные в обратном порядке значения коэффициентов фильтра bn ? hn (обозначение h для коэффициентов операторов НЦФ является общепринятым). Для вычисления yk ? y(k) располагаем вторую полоску против первой таким образом, чтобы значение h0 совпало со значением sk, перемножаем все значения hn с расположенными против них значениями sk-n, и суммируем все результаты перемножения. Результат суммирования является выходным значением сигнала yk. Сдвигаем окно фильтра - полоску коэффициентов hk, на один отсчет последовательности sk вниз (или массив sk сдвигаем на отсчет вверх) и вычисляем аналогично следующее значение выходного сигнала, и т.д.

Рис.6.

Описанный процесс является основной операцией цифровой фильтрации, и называется сверткой в вещественной области массива данных с оператором фильтра. Для математического описания наряду с формулами (2.3 и 2.4) применяются символические формы записи фильтрации:

y(k) = b(n) * x(k-n) b(n) ? x(k-n).

Сумма коэффициентов фильтра определяет коэффициент передачи (усиления) средних значений сигнала в окне фильтра и постоянной составляющей в целом по массиву данных (с учетом начальных и конечных условий). Как правило, сумма коэффициентов фильтра нормируется к 1.

Для операции фильтрации характерны следующие основные свойства:

• · Дистрибутивность: h(n) ? = h(n) ? a(k)+h(n) ? b(k).
• · Коммутативность: h(n) ? a(k) ? b(k) = a(k) ? b(k) ? h(n).
• · Ассоциативность: ? h(n) = h(n) ? a(k) ? b(k).

Фильтрация однозначно определяет выходной сигнал y(k) для установленного значения входного сигнала s(k) при известном значении импульсного отклика фильтра h(n).

Имеется целый ряд методов обработки данных, достаточно давно и широко известных, которые по существу относятся к методам цифровой фильтрации, хотя и не называются таковыми. Например, методы сглаживания отсчетов в скользящем окне постоянной длительности. Так, для линейного сглаживания данных по пяти точкам с одинаковыми весовыми коэффициентами используется формула:

yk = 0.2(xk-2+xk-1+xk+xk+1+xk+2).

С позиций цифровой фильтрации это не что иное, как двусторонний симметричный нерекурсивный цифровой фильтр:

yk =bn xk-n, bn = 0,2. (2.5)

Пример: Дано уравнение НЦФ: bn=0.2.

Начальные условия - нулевые.

Входной сигнал - скачок функции (ступень): xk = {0,0,0,0,0,0,10,10,10,10,…}.

Выходной сигнал: yk = {0,0,0,0,2,4, 6, 8,10,10,10,10,…}.

Результат фильтрации приведен на рисунке 7:

КИХ-фильтры обладают рядом полезных свойств, из-за которых они иногда более предпочтительны в использовании, чем БИХ-фильтры. Например:

• 1. КИХ-фильтры устойчивы.
• 2. КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
• 3. Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

Определения Фильтр – устройство, предназначенное для изменения спектра входного сигнала соответствующим образом. Назначение – улучшение качества сигнала, выделение информационной составляющей, разделение сигнала на компоненты. Цифровой фильтр – математический алгоритм, реализуемый с помощью аппаратных и/или программных средств и предназначенный для получения выходного цифрового сигнала с требуемыми характеристиками из входного цифрового сигнала.

Характеристики фильтра Если параметры фильтра не изменяются во времени, такой фильтр называется независящим от времени (инвариантным). Это означает, что реакцией на задержанный во времени входной сигнал x(n-m) будет такой-же выходной сигнал y(n-m), задержанный на m отсчетов. Что это означает?

Характеристики фильтра Основными характеристиками фильтра являются его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазо- частотная характеристика (ФЧХ). Они называются статическими характеристиками. К динамическим характеристикам фильтра относятся: время нарастания, время установления и амплитуда перерегулирования.

Особенности КИХ-фильтра Коэффициенты КИХ-фильтра являются отсчетами его импульсной характеристики h(n). КИХ-фильтр всегда стабилен, т.к. он не имеет ветви обратной связи. Это означает, что для ограниченного по амплитуде входного сигнала на выходе фильтра будет сформирован ограниченный по амплитуде выходной сигнал. Для реализации КИХ-фильтра понадобится конечное число ячеек памяти. Ошибка округления такого фильтра невелика. Легко реализуем. ФЧХ КИХ-фильтра всегда линейна. Какой недостаток КИХ-фильтров?

Типы фильтров Частоты, проходящие через фильтр без изменения амплитуды, составляют полосу пропускания фильтра. Частоты, которые отсекаются фильтром, составляют полосу подавления фильтра. Точка перехода от полосы пропускания к полосе подавления называется частотой среза. В зависимости от вида АЧХ, все фильтры разделяются на четыре типа: - фильтры низких частот (ФНЧ); - фильтры высоких частот (ФВЧ); - полосовые фильтры (ПФ); - режекторные (заграждающие) фильтры (РФ).

АЧХ реального фильтра Амплитудные искажения в полосе пропускания и полосе подавления. Наличие переходной полосы. w P – граничная частота полосы пропускания. w S – граничная частота полосы подавления. Коэффициент передачи в полосе пропускания: Коэффициент передачи в полосе подавления:

Фазовая характеристика фильтра Характеризует временную задержку прохождения различных частотных составляющих через фильтр. Фазовая задержка многочастотного сигнала определяется как среднее арифметическое фазовых задержек каждой спектральной составляющей сигнала. Групповая задержка определяется выражением: где φ(w) – фазовая характеристика фильтра. Свойство линейности фазовой характеристики определяется как: Групповая задержка фильтра с линейной фазовой характеристикой – постоянная величина.

Линейная свертка Реакция фильтра определяется операцией линейной свертки его импульсной характеристики со входным сигналом. Операция свертки записывается так: Если входной сигнал представлен М отсчетами, а импульсная характеристика фильтра имеет L коэффициентов, то выходной сигнал фильтра будет содержать L+M-1 отсчет.

Каскадная форма представления фильтра Передаточную характеристику фильтра можно представить в несколько ином виде: что позволит представить структуру фильтра в виде последовательно соединенных каскадов. Пример – реализация сложного фильтра, состоящего из нескольких каскадов фильтров второго порядка: