Детерминированный факторный анализ в качестве цели выдвигает изучение влияния факторов на результативный показатель в случаях его функциональной зависимости от ряда факторных признаков.

Функциональную зависимость можно выразить различными моделями - аддитивной; мультипликативной; кратной; комбинированной (смешанной).

Аддитивную взаимосвязь можно представить как математическое управление, отражающее тот случай, когда результативный показатель (у) - это алгебраическая сумма нескольких факторных признаков:

Мультипликативная взаимосвязь отражает прямую пропорциональную зависимость исследуемого обобщающего показателя от факторов:

где П - общепринятый знак произведения нескольких сомножителей.

Кратная зависимость результативного показателя (у) от факторов математически отражается как частное от их деления:

Комбинированная (смешанная) взаимосвязь результативного и факторных показателей представляет собой сочетание в различных комбинациях аддитивной, мультипликативной и кратной зависимости:

где а, в, с и т.д. - переменные.

Известен ряд приемов моделирования факторных систем: прием расчленения; прием удлинения; прием расширения и прием сокращения исходных кратных двухфакторных систем типа: -. В результате процесса моделирования из двухфакторной кратной модели формируются аддитивно-кратные, мультипликативные и мультипликативно-кратные многофакторные системы типа:

Способы измерения влияния факторов в детерминированных моделях

Широкое распространение в аналитических расчетах получил способ цепной подстановки ввиду возможности использовать его в детерминированных моделях всех типов. Суть этого приема состоит в том, что для измерения влияния одного из факторов осуществляется замена его базового значения на фактическое, при этом остаются неизменными значения всех других факторов. Последующее сопоставление результативных показателей до и после замены анализируемого фактора дает возможность рассчитать его влияние на изменение результативного показателя. Математическое описание способа цепных подстановок при использовании его, например, в трехфакторных мультипликативных моделях выглядит следующим образом.

Трехфакторная мультипликативная система:

Последовательные подстановки:

Тогда для расчета влияния каждого из факторов надо выполнить такие действия:

Баланс отклонений:

Последовательность расчетов способом цепных подстановок рассмотрим на конкретном числовом примере, когда зависимость результативного показателя от факторных может быть представлена четырехфакторной мультипликативной моделью.

В качестве результативного показателя избрана стоимость реализованной продукции. Ставится цель исследовать изменение этого показателя под воздействием отклонений от базы сравнения ряда трудовых факторов - численности рабочих, целодневных и внут- рисменных потерь рабочего времени и среднечасовой выработки. Исходная информация приведена в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Информация для факторного анализа изменения стоимости реализованной

продукции

Показатель	Обозначение	сравнения		Абсолютное отклонение	Темп роста, %	Относительное отклонение, %-ных пунктов
1.Реализованная продукция, тыс. руб.	РП = N
2. Среднегодовая численность рабочих, чел.
3.Общее число отработанных рабочими чел./дней, тыс.
4.Общее число отработанных рабочими чел./ч, тыс.
5.Отработано за год одним рабочим днем (стр.З: стр.2)
6.Средняя продолжительность рабочего дня, ч (стр.4: стр.З)
7.Среднечасовая выработка, руб. (стр.1: стр.4)
8.Среднегодовая выработка одного рабочего, тыс. руб. (стр.1: стр.2)

Исходная четырехфакторная мультипликативная модель:

Цепные подстановки:

Расчеты влияния изменения факторных показателей приводятся ниже.

1. Изменение среднегодовой численности рабочих:

2. Изменение числа дней, отработанных одним рабочим:

3. Изменение средней продолжительности рабочего дня:

4. Изменение среднечасовой выработки:

Баланс отклонений:

Результаты расчетов способом цепных подстановок зависят от правильности определения соподчиненности факторов, от их классификации на количественные и качественные. Изменение количественных мультипликаторов должно проводиться раньше, чем качественных.

В мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях широко применяется способ абсолютных разниц, также основанный на приеме элиминирования и отличающийся простотой аналитических расчетов. Правило расчетов этим способом в мультипликативных моделях состоит в том, что отклонение (дельту) по анализируемому факторному показателю надо умножить на фактические значения мультипликаторов (сомножителей), расположенных слева от него, и на базовые значения тех, которые расположены справа от анализируемого фактора.

Порядок факторного анализа способом абсолютных разниц для комбинированных (смешанных) моделей рассмотрим с помощью математического описания. Исходная базисная и фактическая модели:

Алгоритм расчета влияния факторов способом абсолютных разниц:

Баланс отклонений:

Способ относительных разниц используется, так же как и способ абсолютных разниц, только в мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях.

Для мультипликативных моделей математическое описание названного приема будет следующим. Исходные базовая и фактическая четырехфакторные мультипликативные системы:

Для факторного анализа способом относительных разниц вначале надо определить относительные отклонения по каждому факторному показателю. Например, по первому фактору это будет процентное отношение его изменения к базе:

Затем для определения влияния изменения каждого фактора производятся такие расчеты.

Рассмотрим последовательность действий на числовом примере, исходная информация для которого содержится в табл. 15.1.

В гр. 7 табл. 15.1 отражены относительные отклонения по каждому факторному показателю.

Результаты влияния изменения каждого из факторов на отклонение результативного показателя от сравнения будут следующими:

Баланс отклонений: РП, -РП 0 =432 012-417 000 = +15 012 тыс. руб. (-9811,76) + 3854,62+ (-10 673,21) + 31 642,36 = 15 012,01 тыс. руб. Индексы представляют собой обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве. Они отражают процентное изменение изучаемого явления за какой-то период времени по сравнению с базисным периодом. Такая информация дает возможность сравнить изменения различных факторов и проанализировать их поведение.

В факторном анализе индексный метод используется в мультипликативных и кратных моделях.

Обратимся к его использованию для анализа кратных моделей. Так, агрегатный индекс физического объема продаж (J g) имеет вид:

где q - индексируемая величина количества; р 0 - соизмеритель (вес), цена, зафиксированная на уровне базисного периода.

Разница между числителем и знаменателем в этом индексе отражает изменение товарооборота за счет изменения его физического объема.

Агрегатный индекс цен (формула) Пааше записывается таким образом:

Используя информацию, содержащуюся в табл. 15.1, рассчитаем влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих и индекса среднегодовой выработки одного рабочего на темп роста реализованной продукции.

Производительность труда (ПТ) одного рабочего в базовом году равна 245,29 млн руб., а в отчетном - 260,25 млн руб. Индекс роста (/ пт) составит 1,0610 (260,25: 245,29).

Индексы роста реализованной продукции (/ рп) и среднегодовой численности рабочих (/ сч) по данным табл. 15.1- соответственно:

Взаимосвязь трех указанных индексов можно представить в виде двухфакторной мультипликативной модели:

Факторный анализ способом абсолютных разниц дает такие итоги.

1. Влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих:

2. Влияние изменения индекса производительности труда:

Баланс отклонений: 1,0360 - 1,0 = +0,0360 или (-0,0235) + 0,0596= + 0,0361 100 = 3,61%.

Интегральный способ применяется в детерминированном факторном анализе в мультипликативных, кратных и комбинированных моделях.

Этот метод позволяет разложить дополнительный прирост результативного показателя в связи с взаимодействием факторов между ними.

Практическое использование интегрального метода базируется на специально разработанных рабочих алгоритмах для соответствующих факторных моделей. Например, для двухфакторной мультипликативной модели (у = а в) алгоритм будет таким:

В качестве примера используем двухфакторную зависимость реализованной продукции (РП) от изменения среднегодовой численности рабочих (СЧ) и их среднегодовой выработки (ПТ):

Исходная информация имеется в табл. 15.1.

Влияние изменения среднегодовой численности:

Влияние изменения производительности труда (среднегодовой выработки одного рабочего):

Баланс отклонений:

В факторном анализе в аддитивных моделях комбинированного (смешанного) типа может использования способ пропорционального деления. Алгоритм расчета влияния факторов на изменение результативного показателя для аддитивной системы типа у = а + в + с будет таким:

В комбинированных моделях расчет влияния факторов второго уровня может быть выполнен способом долевого участия. Вначале рассчитывается доля каждого фактора в общей сумме их изменений, а затем эта доля умножается на общее отклонение результативного показателя. Алгоритм расчета такой:

Систематизируем рассмотренные способы расчетов влияния отдельных факторов в детерминированном факторном анализе с использованием схемы (рис. 15.4).

При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы этой формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее:

Теория массового обслуживания

См.далее:

Теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.

Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее:

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

Условие: определить влияние численности персонала, количества отработанных смен и выработки в смену на одного работника на изменение объема выпуска продукции (N п).

Сделать вывод.

Алгоритм решения:

Факторная модель, описывающая взаимосвязь показателей, имеет вид: N = ч * См * В

Исходные данные – факторы и результирующий показатель представляются в аналитической таблице:

Показатели	Условные обозначения	Базисный период	Отчетный период	Отклонение	Темп изменения, %
1. Численность работников, чел.
2. Количество смен
3. Выработка, штук
4. Выпуск продукции, тыс. шт.

Способы детерминированного факторного анализа, применяемые для решения трехфакторных моделей:

 цепной подстановки;

 абсолютных разниц;

 взвешенных конечных разниц;

 логарифмический;

 интегральный.

Применение различных методов для решения типовой задачи:

1. Способ цепной подстановки. Применение этого способа предполагает выделение количественных и качественных факторных признаков: здесь количественными факторами являются численность персонала и количество отработанных смен; качественный признак – выработка.

а) N 1 = ч 0 * См 0 * В 0 =5184 тыс. шт.;

б) N 2 = ч 1 * См 0 * В 0 =25 * 144 * 1500 =5400 тыс. шт.;

в) N (ч) = 5400 – 5184 = 216 тыс. шт.;

N 3 = ч 1 * См 1 * В 0 =25 * 146 * 1500 =5475 тыс. шт.;

N(См) = 5475 – 5400 = 75 тыс. шт.;

N 4 = ч 1 * См 1 * В 1 =25 * 146 * 1505 =5493,25 тыс. шт.;

N(В) = 5493,25 – 5475 = 18,25 тыс. шт.;

N =  N(ч) +N(См) +N (B) = 216 + 75 +18,25 = 309,25 тыс. шт.

4.2 . Способ абсолютных разниц также предполагает выделение количественных и качественных факторов, определяющих последовательность подстановки:

а) N(ч) =ч * См 0 * В 0 = 1 * 14 * 1500 = 216 тыс. шт.;

б) N(См) =См * ч 1 * В 0 = +2 * 25 * 1500 = 75 тыс. шт.;

в) N (B) =B * ч 1 * См 1 = +5 * 25 * 146 = 18,25 тыс. шт.;

N = N(ч) +N(См) +N (B) = 309,25 тыс. шт.

Способ относительных разниц

а) N(ч) =
тыс. шт.;

б) N(См) =тыс. шт.;

в) N(В)тыс. шт.;

Общее влияние факторов: N =N(ч) +N(См) +N (B) = 309,3 тыс. шт.

4.4 . Способ взвешенных конечных разностей предполагает применение всех возможных постановок на основе способа абсолютных разниц.

Подстановка 1 производится в последовательности
результаты определены в предыдущих расчетах:

N(ч) = 216 тыс. шт.;

N(См) = 75 тыс. шт.;

N (B) = 18,25 тыс. шт.

Подстановка 2 производится в последовательности
:

а)+1 * 1500 * 144 = 216 тыс. шт.;

б) +5 * 25 * 11 = 18 тыс. шт.;

в) +2 * 25 *1505 = 75,5 тыс. шт.;

Подстановка 3 производится в последовательности
:

а) 2 * 24 * 1500 = 72 тыс. шт.;

б) 1 * 146 * 1500 = 219 тыс. шт.;

в) + 5 * 25 * 146 = 18,25 тыс. шт.

Подстановка 4 производится в последовательности
:

а) 2 * 1500 *5 * 146 * 24 = 17,52 тыс. шт.;

б) 5 * 146 * 24 = 17,52 тыс. шт.;

в) 1 * 146 * 1515 = 219,73 тыс. шт.;

Подстановка 5 производится в последовательности
:

а) 5 * 144 * 24 = 17,28 тыс. шт.;

б) 2 * 1505 * 24 = 72,27 тыс. шт.;

в) 1 * 146 * 1505 = 219,73 тыс. шт.

Подстановка 6 производится в последовательности
:

а) 5 * 24 * 144 = 17,28 тыс. шт.;

б) 1 * 1505 * 144 = 216,72 тыс. шт.;

в) 2 * 1505 * 25 = 75,25 тыс. шт.

Влияние факторов на результирующий показатель

Факторы	Размер влияния факторов при подстановке, тыс. шт.						Среднее значение влияния факторов
1. Численность
2. Сменность
3. Выработка

4.5. Логарифмический способ предполагает распределение отклонения результирующего показателя пропорционально доле каждого фактора в сумме отклонения результата

а) доля влияния каждого фактора измеряется соответствующими коэффициентами:

б) влияние каждого фактора на результирующий показатель рассчитывается как произведение отклонения результата на соответствующий коэффициент:

309,25*0,706 = 218,33;

309,25*0,2438 = 73,60;

309,25* 0,056 = 17,32.

4.6. Интегральный метод предполагает применение стандартных формул для расчета влияния каждого фактора:

5. Результаты расчетов каждого из перечисленных способов объединяются в таблице совокупного влияния факторов.

Совокупное влияние факторов:

Факторы	Размер влияния, тыс. шт.		Способом относительных разниц	Размер влияния, тыс. шт.
	Способом цепных подстановок	Способом абсолютных разниц		Способом взвешенных конечных разниц	Логарифм. способ	Интегральный способ
1. Численность
2. Количество смен
3. Выработка

Сопоставление результатов расчетов, полученных различными способами (логарифмическим, интегральным и взвешенных конечных разниц), показывает их равенство. Громоздкие расчеты способом взвешенных конечных разниц удобно заменить применением логарифмического и интегрального методов, которые дают более точные результаты по сравнению с приемами цепной подстановки и абсолютных разниц.

5. Вывод: Объем выпуска продукции возрос на 309,25 тыс. штук.

Положительное влияние в размере 217,86 тыс. шт. оказал рост численности персонала.

В результате увеличения количества смен объем выпуска возрос на 73,6 тыс. шт.

За счет увеличения выработки объем выпуска продукции увеличился на 17,76 тыс. шт.

Наиболее сильное влияние на объем выпуска продукции оказали экстенсивные факторы: рост численности персонала и количества отработанных смен. Совокупное влияние этих факторов составили 94,26 % (70,45 +23,81). На долю влияния фактора выработки приходится 5,74 % роста выпуска продукции.

Примечание: Применение рассмотренных приемов аналогично в отношении мультипликативных моделей любого количества факторов. Однако использование приема взвешенных конечных разниц к многофакторным моделям ограничено необходимостью выполнения большого количества расчетов, и это нецелесообразно при наличии других, более простых и рациональных приемов, например, логарифмического.

Детерминированный факторный анализ – это методика исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

При моделировании детерминированных факторных систем необходимо выполнять ряд требований:

1. Факторы, включаемые в модель, и сами модели должны иметь определенно выраженный характер, реально существовать, а не быть придуманными абстрактными величинами или явлениями.

2. Факторы, которые входят в систему, должны быть не только необходимыми элементами формулы, но и находиться в причинно-следственной связи с изучаемыми показателями.

3. Каждые показатели факторной модели должны быть количественно измеримыми, т.е. должны иметь единицу измерения и необходимую информационную обеспеченность.

4. Факторная модель должна обеспечивать возможность измерения влияния отдельных факторов, это означает, что в ней должна учитываться соразмерность измерений результативного и факторных показателей, а сумма влияния отдельных факторов должна равняться общему приросту результативного показателя.

Типы факторных моделей встречающихся в детерминированном анализе:

Аддитивные модели, используются в случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей;

Мультипликативные модели, применяются, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов;

Кратные модели, применяются, когда результативный показатель получают делением одного факторного показателя на величину другого;

Смешанные (комбинированные) модели – сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей.

Основные приемы детерминированного факторного анализа и сфера их применения систематизированы в виде таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Область применения основных приемов детерминированного факторного анализа

Методы элиминирования

Элиминировать– значит устранить, отклонить, исключить воздействие всех факторов на величину результативного показателя, кроме одного. Этот метод исходит из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга: сначала изменяется один, а все другие остаются без изменения, потом изменяются два, затем три и т.д. Это позволяет определить влияние каждого фактора на величину исследуемого показателя в отдельности. К методам элиминирования относятся способ цепной подстановки, индексный метод, способ абсолютных и способ относительных разниц.

Способ цепной подстановки. Данный способ является универсальным, так как используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных. Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т.д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или иного фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить взаимодействие последнего на прирост результативного показателя.

Рассмотрим алгоритм расчета способом цепной подстановки для различных моделей:

Мультипликативная модель

Двухфакторная мультипликативная модель (Y = a ´ b):

; ; .

.

Трехфакторная мультипликативная модель(Y = a ´ b ´ с):

; .

; ; ; .

Кратная модель

В кратных моделях (Y = a ÷ b) алгоритм расчета факторов на величину результативного показателя следующий:

; ;

.

Смешанные модели

Мультипликативно-аддитивного типа (Y = a ´ (b – c)):

; ;

; ;

; ;

; .

Кратно-аддитивного типа ():

;

; ;

; .

Используя способ цепной подстановки, рекомендуется придерживаться определенной последовательности расчетов: в первую очередь нужно учитывать изменение количественных, а затем качественных показателей. Если же имеется несколько количественных и несколько качественных показателей, то сначала следует изменить величину факторов первого уровня подчинения, а потом более низкого.

Индексный метод. Индексный метод основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде.

С помощью агрегатных индексов можно выявить влияние различных факторов на изменение уровня результативных показателей в мультипликативных и кратных моделях.

Рассмотрим алгоритм расчета индексного метода для мультипликативной модели.

; ; ; .

Способ абсолютных разниц. Как и способ цепной подстановки, данный способ применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных и мультипликативно-аддитивных моделях: и . Особенно эффективно применяется данный способ в том случае, если исходные данные уже содержат абсолютные отклонения по факторным показателям.

При его использовании величина влияния факторов рассчитывается умножением абсолютного прироста исследуемого фактора на базовую (плановую) величину факторов, которые находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева от него в модели.

Мультипликативная модель

Алгоритм расчета для мультипликативной факторной модели типа . Имеются плановые и фактические значения по каждому факторному показателю, а также их абсолютные отклонения:

Изменение величины результативного показателя за счет каждого фактора:

; .

Смешанные модели

Алгоритм расчета факторов этим способом в смешанных моделях типа :

; ; .

Способ относительных разниц применяется для изменения влияния факторов на прирост результативного показателя только в мультипликативных моделях и мультипликативно-аддитивных моделях: . Он значительно проще цепных подстановок, что при определенных обстоятельствах делает его очень эффективным. Это касается тех случаев, когда исходные данные содержат уже определенные ранее относительные приросты факторных показателей в процентах или коэффициентах.

Мультипликативная модель

Алгоритм расчета влияния факторов на величину результативного показателя для мультипликативных моделей типа (Y = a ´ b ´ с).

Сначала рассчитываются относительные отклонения факторных показателей:

; ; .

Изменение результативного показателя за счет каждого фактора определяется следующим образом:

Задание . На основе данных, скорректированных на инфляцию, о прибыли компании за 12 кварталов (табл.) построить мультипликативной модель тренда и сезонности для прогнозирования прибыли компании на следующие два квартала. Дать общую характеристику точности модели и сделать выводы.

Решение проводим с помощью калькулятора Построение мультипликативной модели временного ряда .
Общий вид мультипликативной модели следующий:
Y = T x S x E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты мультипликативной модели временного ряда.
Шаг 1 . Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Найдем скользящие средние (гр. 3 таблицы). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.2. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 4 табл.).

t	y t	Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	375	-	-	-
2	371	657.5	-	-
3	869	653	655.25	1.33
4	1015	678	665.5	1.53
5	357	708.75	693.38	0.51
6	471	710	709.38	0.66
7	992	718.25	714.13	1.39
8	1020	689.25	703.75	1.45
9	390	689.25	689.25	0.57
10	355	660.5	674.88	0.53
11	992	678.25	669.38	1.48
12	905	703	690.63	1.31
13	461	685	694	0.66
14	454	690.5	687.75	0.66
15	920	-	-	-
16	927	-	-	-

Шаг 2 . Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый период оценки сезонной компоненты S j . Сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Показатели	1	2	3	4
1	-	-	1.33	1.53
2	0.51	0.66	1.39	1.45
3	0.57	0.53	1.48	1.31
4	0.66	0.66	-	-
Всего за период	1.74	1.85	4.2	4.28
Средняя оценка сезонной компоненты	0.58	0.62	1.4	1.43
Скорректированная сезонная компонента, S i	0.58	0.61	1.39	1.42

Для данной модели имеем:
0.582 + 0.617 + 1.399 + 1.428 = 4.026
Корректирующий коэффициент: k=4/4.026 = 0.994
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты S i и заносим полученные данные в таблицу.
Шаг 3 . Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T x E = Y/S (гр. 4 табл.), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов .
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
Для наших данных система уравнений имеет вид:
16a 0 + 136a 1 = 10872.41
136a 0 + 1496a 1 = 93531.1
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = 3.28, a 1 = 651.63
Среднее значения
overline{y} = {sum{}{}{}y_{i}}/{n} = {10872.41}/{16} = 679.53

t	y	t 2	y 2	t y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2
1	648.87	1	421026.09	648.87	654.92	940.05	36.61
2	605.46	4	366584.89	1210.93	658.2	5485.32	2780.93
3	625.12	9	390770.21	1875.35	661.48	2960.37	1322.21
4	715.21	16	511519.56	2860.82	664.76	1273.1	2544.83
5	617.72	25	381577.63	3088.6	668.04	3819.95	2532.22
6	768.66	36	590838.18	4611.96	671.32	7944.97	9474.64
7	713.6	49	509219.75	4995.17	674.6	1160.83	1520.44
8	718.73	64	516571.58	5749.83	677.88	1536.93	1668.26
9	674.82	81	455381.82	6073.38	681.17	22.14	40.28
10	579.35	100	335647.52	5793.51	684.45	10034.93	11045.26
11	713.6	121	509219.75	7849.56	687.73	1160.83	669.14
12	637.7	144	406656.13	7652.35	691.01	1749.71	2842.39
13	797.67	169	636280.07	10369.73	694.29	13958.53	10687.5
14	740.92	196	548957.15	10372.83	697.57	3768.85	1878.69
15	661.8	225	437983.3	9927.05	700.85	314.08	1524.97
16	653.2	256	426667.57	10451.17	704.14	693.14	2594.6
136	10872.41	1496	7444901.2	93531.1	10872.41	56823.71	53162.96

Шаг 4 . Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
T = 651.634 + 3.281t
Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

t	y t	S i	y t /S i	T	TxS i	E = y t / (T x S i)	(y t - T*S) 2
1	375	0.58	648.87	654.92	378.5	0.99	12.23
2	371	0.61	605.46	658.2	403.31	0.92	1044.15
3	869	1.39	625.12	661.48	919.55	0.95	2555.16
4	1015	1.42	715.21	664.76	943.41	1.08	5125.42
5	357	0.58	617.72	668.04	386.08	0.92	845.78
6	471	0.61	768.66	671.32	411.36	1.14	3557.43
7	992	1.39	713.6	674.6	937.79	1.06	2938.24
8	1020	1.42	718.73	677.88	962.03	1.06	3359.96
9	390	0.58	674.82	681.17	393.67	0.99	13.45
10	355	0.61	579.35	684.45	419.4	0.85	4147.15
11	992	1.39	713.6	687.73	956.04	1.04	1293.1
12	905	1.42	637.7	691.01	980.66	0.92	5724.7
13	461	0.58	797.67	694.29	401.25	1.15	3569.68
14	454	0.61	740.92	697.57	427.44	1.06	705.39
15	920	1.39	661.8	700.85	974.29	0.94	2946.99
16	927	1.42	653.2	704.14	999.29	0.93	5225.65

Шаг 5 . Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл.).
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:
E = Y/(T * S) = 16
Для сравнения мультипликативной модели и других моделей временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок:
Среднее значения
overline{y} = {sum{}{}{}y_{i}}/{n} = {10874}/{16} = 679.63
16 927 61194.39 136 10874 1252743.75

R^{2} = 1 - {43064.467}/{1252743.75} = 0.97
Следовательно, можно сказать, что мультипликативная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда.
Проверка адекватности модели данным наблюдения.
F = {R^{2}}/{1 - R^{2}}{(n - m -1)}/{m} = {0.97^{2}}/{1 - 0.97^{2}}{(16-1-1)}/{1} = 393.26
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Fkp = 4.6
Поскольку F > Fkp, то уравнение статистически значимо
Шаг 6 . Прогнозирование по мультипликативной модели. Прогнозное значение F t уровня временного ряда в мультипликативной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:T = 651.634 + 3.281t
Получим
T 17 = 651.634 + 3.281*17 = 707.416
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 1 = 0.578
Таким образом, F 17 = T 17 + S 1 = 707.416 + 0.578 = 707.994
T 18 = 651.634 + 3.281*18 = 710.698
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 2 = 0.613
Таким образом, F 18 = T 18 + S 2 = 710.698 + 0.613 = 711.311
T 19 = 651.634 + 3.281*19 = 713.979
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 3 = 1.39
Таким образом, F 19 = T 19 + S 3 = 713.979 + 1.39 = 715.369
T 20 = 651.634 + 3.281*20 = 717.26
Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S 4 = 1.419
Таким образом, F 20 = T 20 + S 4 = 717.26 + 1.419 = 718.68

Пример . На основе поквартальных данных построена мультипликативная модель временного ряда . Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 0,8 - I квартал, 1,2 - II квартал и 1,3 - III квартал. Определите значение сезонной компоненты за IV квартал.
Решение. Поскольку сезонные воздействия за период (4 квартала) взаимопогашаются, то имеем равенство: s 1 + s 2 + s 3 + s 4 = 4. Для наших данных: s 4 = 4 - 0.8 - 1.2 - 1.3 = 0.7.
Ответ: Сезонная компонента за IV квартал равна 0.7.