Что поток вектора. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

11.08.2019 Накопительная пенсия

Определение. Потоком векторного полячерез ориентированную поверхность
называется величина

, где
– скалярное произведение вектора поляна единичный вектор нормалик поверхности
.

Пример 1. Вычислить поток вектора
через площадку, имеющую форму треугольника с вершинами в точках
,
,
, по направлению нормали, направленной в сторону начала координат.

Решение. Воспользуемся формулой.

Поверхность
– треугольник
, лежащий в плоскости
(рис. 1). Единичный вектор нормали
, поэтому
. Учитывая, что площадь треугольника
равна 1, получим

Пример 2. Вычислить поток векторного полячерез внешнюю сторону части сферы
, расположенной в первом октанте.

Решение. Нормальный вектор к сфере коллинеарен радиус-вектору(рис. 2), тогда вектор
, так как на сфере
.

Вычислим
на поверхности сферы:

Тогда , где
.

Таким образом,
.

Пример 3. Вычислить поток векторного полячерез плоский треугольник, получаемый при пересечении плоскости
с координатными плоскостями в положительном направлении оси
.

Решение. Нормальный векторплоскости
равен
, единичный вектор
.

Так как вектор по условию задачи составляет с осью
острый угол, то
, следовательно,
.

Найдем скалярное произведение
:

Тогда
.

Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой.

Выразим переменную из уравнения плоскости:
, тогда

Проекция треугольника ABCна плоскость
есть треугольникAOC

Таким образом,

Пример 4. Вычислить поток векторачерез внешнюю сторону цилиндрической поверхности
, ограниченной сферой
.

Решение. Проекцией цилиндрической поверхности на плоскость
является окружность
поэтому рассмотрим проекцию цилиндрической поверхности, например, на плоскость
– прямоугольникABCD(рис. 4).

Так как цилиндрическая поверхность проецируется на плоскость
невзаимнооднозначно, то, по свойству аддитивности, искомый поток
, где
– часть цилиндрической поверхности
,
– часть той же поверхности при
.

Рассмотрим поверхность
:
. Найдем вектор нормали:
,
,
.

Тогда ,
.

, где
– прямоугольникABCD.

Рассмотрим теперь поверхность
:
. Вектор нормали:
,
,
,
.

Таким образом,
.

Поток через замкнутую поверхность

Поток векторного поля
через замкнутую поверхность
удобно вычислять по формуле Остроградского

где
,

– тело, ограниченное замкнутой поверхностью
, причём поверхность
ориентирована внешней нормалью.

Пример 5. Найти поток поля векторачерез замкнутую поверхность
:
,
,
.

Решение. Воспользуемся формулами.

Вычислим
.

Тогда
, где– объём усеченного конуса (рис. 5).

То есть
.

Пример 6. Найти поток поля вектора
через замкнутую поверхность
:

, в направлении нормали, направленной внутрь тела.

Решение. В формуле Остроградского поверхность
ориентирована внешней нормалью. Поток в направлении внутренней нормали будет равен значению потока, вычисленного по формуле Остроградского, с противоположным знаком.

Вычислим
.

Тогда
.

Для вычисления тройного интеграла воспользуемся рекомендациями п.3. Сверху тело ограничено плоскостью
(рис. 6). Рассмотрим проекцию тела на плоскость
(рис. 7). Справа и слева фигура ограничена линиями
и
,
.

Пример 7. Вычислить поток поля векторачерез боковую поверхность тела, ограниченного поверхностями
,
, в направлении внешней нормали.

Решение. Воспользоваться формулой Остроградского непосредственно нельзя, так как наша поверхность незамкнутая, поэтому вычислим поток через боковую поверхность тела по формуле
, где
– поток через замкнутую поверхность,
– поток через основание тела в направлении внешней нормали.

По формуле (8.1) вычислим
:

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрической системе координат:

,
,
,
.

Тогда уравнение параболоида примет вид
. Проекцией тела на плоскость
является круг

или
(рис. 8).

Найдем поток через плоскость основания
в направлении внешней

нормали (рис. 8):

, тогда
и
.

Таким образом,
.

Пример 8. Вычислить поток поля векторачерез боковую поверхность тела, расположенного в IV октанте и ограниченного поверхностями.

Решение. Воспользуемся формулой
.

Сначала вычислим поток через замкнутую поверхность тела по формуле:
.

Так как проекцией тела на плоскость
является часть плоскости, ограниченная эллипсом (рис. 9), то для вычисления тройного интеграла перейдем к обобщенной цилиндрической системе координат:
,
,
.

Тогда
, уравнение эллипса примет вид:

или
,
.

Вычислим поток через основания:
.

Поверхность
задана уравнением
, единичный вектор нормали
(рис. 9), поэтомуи
.

Поверхность
задана уравнением
, единичный вектор нормали
(рис. 9), поэтомуи

Таким образом,
и.

16.Практическое занятие. Поток и его вычисление. 1

Поток через замкнутую поверхность 5

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле - поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку ΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS :

где - проекция вектора на нормаль к площадке ; - единичный вектор, перпендикулярный площадке .

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности сквозь поверхность в общем случае равен:

где . (Выбор нормали условен, но в случае замкнутых поверхностей принято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока - В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на , т. е.:

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянии от него (рис. 1.8),

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (- плечо диполя),

где - электрический момент диполя, - угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

где - напряженность электрического поля; - угол между векторами и .

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

где производная берется по направлению вектора . Направление вектора в общем случае не совпадает с направлением вектора , ни с направлением вектора . Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора , взятого в направлении .

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

где - расстояние точки от нити (оси цилиндра), - линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO " - ось симметрии цилиндра

где - поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и (поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

Потенциал. Разность потенциалов

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии

Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и равен отношению потенциальной энергии положительного пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

где - потенциальная энергия заряда , помещенного в данную точку электрического поля. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю. Единица потенциала - вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.

Работа, совершенная силами поля по перемещению положительного заряда из точки 1 в точку 2:

или ,

где - проекция вектора напряженности на направление ; при этом интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 1.11).

Интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Теперь предположим, что заряд q 0 перемещается из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля , откуда получим:

Данное выражение позволяет сформулировать еще одно определение потенциала. Потенциал - это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки пространства в бесконечность (потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю).

Рис. 1.11. Работа сил поля при малом перемещении заряда q

Разность потенциалов и модуль напряженности электрического поля

где производная берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т. е. вдоль силовой линии (рис. 1.12).

Для однородного поля ()

где - расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.

Рис. 1.12. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r 1 и r 2

Потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него

Потенциал поля сферической поверхности (шара) радиуса , по которой равномерно распределен заряд :

1. - для точек, лежащих вне сферы (шара) на расстоянии от ее центра;

2. - для точек, лежащих на поверхности сферы (шара) или внутри нее.

Потенциал электрического поля внутри непроводящего шара, равномерно заряженного по объему,

где - диэлектрическая проницаемость материала шара; - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.

Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля . Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

где - потенциал электрического поля, созданного -м зарядом.

Для графического изображения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - это поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. В любой точке эквипотенциальной поверхности силовая линия ей перпендикулярна, следовательно, перпендикулярен и вектор (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии простых электрических полей: точечный заряд; электрический диполь; два равных положительных заряда

Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Различают три типа диэлектриков:

1) Неполярные диэлектрики. Это диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (например, N 2 , H 2 , O 2 , CO 2).

2) Полярные диэлектрики. Это диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например, H 2 O, NH 3 , SO 2 , CO).

3) Ионные диэлектрики (например NaCl, KCl). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков.

Если диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то в его объеме возникает собственное макроскопическое поле, которое всегда противоположно ориентировано по отношению к внешнему полю. Такое явление называется поляризацией диэлектрика , и оно объясняется тем, что в его объеме возникает суммарный дипольный электрический момент молекул. Различают три основных вида поляризации:

1) Электронная или деформационная поляризациядиэлектрика с неполярными молекулами - за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов или молекул диэлектрика (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Деформационная поляризация неполярного диэлектрика

2) Ориентационная или дипольная поляризациядиэлектрика с полярными молекулами - ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и чем ниже температура) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Поляризация полярного диэлектрика

3) Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими решетками - смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью вещества (вектор поляризации)

где - физически малый объем вещества; - концентрация молекул; - средний дипольный момент одной молекулы. Таким образом вектор поляризации измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика.

Для изотропного диэлектрика вектор пропорционален напряженности поля внутри него

где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (в отличие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле).

Поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

Напряженность поля внутри диэлектрика равна:

где - диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле и показывающая во сколько раз поле ослабляется диэлектриком. Таким образом, диэлектрическая проницаемость среды

где - напряженность поля в вакууме; - напряженность поля в среде. Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной и характеризует способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле, а также показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком

Для характеристики поля в диэлектрике вводится вектор электрического смещения (электрической индукции ), который для изотропного диэлектрика записывается так

Единица электрического смещения - Кл/м 2 . Вектор описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Введение в рассмотрение векторов поляризации и электрического смещения позволяет изменить запись и формулировку теоремы Гаусса.

Теорема Гаусса : поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов q i , охватываемых этой поверхностью

Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 - тупой. Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x} у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса. Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение, значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° - острый, а знак «-», что угол /3 - тупой. Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг\ через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью Имеем Так как угол 7 - острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам, получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F{x} у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е. Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ». Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz -треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны. Имеем Аналогично получим. Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А. Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В. Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим Замечание. Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Теорема 4. Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные, то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь - орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса-Остроградского. Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz. Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da - элемент площади на поверхности S. Тогда ~ элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением - уравнением z = z\(x}y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю. Поэтому формула (4) остается справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза. Пусть S\ и S2 - те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V\ и Vj - соответствующие части области V, ограниченные поверхностями. Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp - что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются). Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса-Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1) Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса-Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3. Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание. При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса-Ос гроградского. Пример 4. Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у - I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V - объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса-Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj

Пусть векторное поле образовано вектором .

Для наглядности будем считать - вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находиться в этом потоке и пропускает жидкость. Требуется вычислить, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S.

Потоком вектора через поверхность S называется интеграл П=- (этот интеграл ещё называют поверхностным интегралом II-го рода).(- скалярное произведение)

Поток П вектора есть скалярная величина. Величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В общем случае, поток поля вектора пропорционален числу векторных линий, пронизывающих поверхность.

Т.О. если мы рассматриваем графическое изображение векторного поля, то можно судить о величине потока через одинаковые площадки по густоте векторных линий – там, где линии расположены ближе друг к другу, там больше и величина потока.

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объём V . Тогда поток вектора записывается в виде

Если векторное поле - поле скоростей текущей жидкости, то величина потока П через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в неё за единицу времени.

Если П>0 , то из области V вытекает больше жидкости, чем в неё втекает. Это значит, что внутри области имеются дополнительные источники. Если П<0 , то в нутрии области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии кончаются. Так в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком отрицательный заряд магнита.

Если П=0 , то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в неё втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Дивергенция - численная характеристика плотности источника или стока поля в данной точке.

- предел отношения потока поля через некоторую замкнутую поверхность к объёму, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность S стягивается в точку М , называется дивергенцией поля в точке М .