Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. f (x)

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

1 . В чем состоит геометрический смысл производной? 2 . В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке? 3 . Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 4 . Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 5 . Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о производной?

для дифференцируемых функций: 0 ° ≤ α ≤ 180 ° , α ≠ 90 ° α - тупой tg α 0 f ´(x 1) >0 положение касательной не определено tg α не сущ. f ´(x 3) не сущ. α = 0 tg α =0 f ´(x 2) = 0

y = f / (x 0) · (x - x 0) + f(x 0) (x 0 ; f(x 0)) – координаты точки касания f ´ (x 0) = tg α = k – тангенс угла наклона касательной в данной точке или угловой коэффициент (х;у) – координаты любой точки касательной Уравнение касательной

№1. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х 0 = - 2. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№2. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = k х – 3 параллельны. Ответ: 8. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №3. Функция у = f (х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f (х), которые параллельны оси абсцисс. Ответ: 3. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№4. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p (х) в точке (х 0 ; p (х 0)). Найдите значение производной в точке х 0 . Ответ: -0,5. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №5. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. Ответ: 4. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

Напишите уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс. Самостоятельная работа

Фамилия, имя Тестирование Творческое задание Урок +,-, :), :(, : |

1 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 -4, если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45 градусов.

2 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у = f (х) в точке А (-7;14). Найдите.

4 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая у=-4х-11 является касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.

Предварительный просмотр:

Сценарий урока
по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной»

Цели: 1) продолжить формирование системы математических знаний и умений по теме «Уравнение касательной», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

2) развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности;

3) развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, критическое мышление;

4) воспитывать толерантность, коммуникативность.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы, постановка целей урока.
3. Проверка домашнего задания.

1. Задания базового уровня (отсканированная работа)
2. Задачу практического содержания повышенного уровня сложности обучающиеся решали по выбору. Один из учеников представляет свое решение в форме мультимедийного проекта: «Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 150. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат»

1. Актуализация опорных знаний.

1. Продифференцируйте функции:

• ()
• y=4 ()
• y=7x+4 ()
• y=tg x+ ()
• y=x 3 sin x ()
• y= ()

1. Ответьте на вопросы:

• В чем состоит геометрический смысл производной?
• В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке?
• Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси ОХ. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Как должен выглядеть график дифференцируемой в точке функции?

1. Какой вид имеет уравнение касательной? Объясните, что в данном уравнении (х 0 ; f(х 0 )) , f ’ (х 0 ), (х;у)
2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой y=2х 2 +х в точке с абсциссой х 0 =-2 (-7).
3. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = kх – 3 параллельны. (8)
4. Функция у = f(х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые параллельны оси абсцисс. (3)
5. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p(х) в точке (х 0 ; p(х 0 )). Найдите значение производной в точке х 0 . (-0,5)
6. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. (4)

1. Самостоятельная работа с выборочной проверкой (один уч-ся выполняет задание за доской). Напишите уравнения касательных к графику функции f (x ) = 4 – x 2 в точках его пересечения с осью абсцисс. (у=-+4х+8). Демонстрация иллюстрации.
2. Работа в творческих группах по 5-6 человек.

1. По очереди пройти компьютерное тестирование (Дополнительное тестирование к уроку 5, вар. 1 и 2 «Уроки алгебра Кирилла и Мефодия»). Результаты вносят в диагностическую карту.
2. Выполнить в тетрадях задания:

1 группа

у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b

№ 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 х 2 -4, если касательная образует с осью х угол 45 0 .

2 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = x 3 /3 , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции
у = f (х ) в точке А (-7;14). Найдите . (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

4 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции f(x)=x 3 +7x 2 +7x-6. Найдите абсциссу точки касания. (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

Отчет о проделанной работе выполняет у доски один из группы. Его выбирает учитель или группа. В диагностическую карту заносят отметку отвечавшего и самооценку каждого участника группы.

1. Подведение итогов урока. Рефлексия.
2. Домашнее задание состоит из упражнений В8 ФБТЗ ФИПИ.

«Тригонометрические формулы» - Cos x. Cos. Ф-лы преобразования суммы в произв.. Sin (x+y). Формулы двойного аргумента. Формулы преобр. произв. в сумму. Формулы сложения. Тригонометрия. Tg . Sin x. Соотнош. между ф-ями. Ф-лы половинного аргумента. Тригонометрические уравнения.

«Вычисление площади криволинейной трапеции» - Площади криволинейных трапеций. Формулы для вычисления площади. Какая фигура называется криволинейной трапецией. Повторение теории. Площадь криволинейной трапеции. Найти первообразную функции. Какие из фигур являются криволинейными трапециями. Решение. Шаблоны графиков функций. Готовимся к экзаменам. Фигура, не являющаяся криволинейной трапецией.

«Определить, чётная или нечётная функция» - Нечетные функции. Не является четной. Функция. График нечетной функции. Является ли четной функция. Столбик. График четной функции. Четные функции. Функция - нечетная. Симметрия относительно оси. Пример. Является ли нечетной функция. Не является нечетной. Четные и нечетные функции.

«Логарифмы и их свойства» - Свойства степени. Таблицы логарифмов. Свойства логарифмов. История возникновения логарифмов. Повторить определение логарифма. Вычислите. Применение изученного материала. Проверьте. Определение логарифма. Открытие логарифмов. Найдите вторую половину формулы.

««Логарифмические неравенства» 11 класс» - Применение теоремы. log26 … log210 log0,36 … log0,310. Определение. > ,Т.К. 6<10 и функция у=log0,3x - убывающая. Повторить свойства логарифмической функции. График какой функции изображен на рисунке? Сравните числа: Логарифмические неравенства. < , Т.К. 6<10 и функция у=log2x - возрастающая. Найдите область определения функции: Если а>1, то logа f(x)>logа g(x) ? Если 0<а<1, то logа f(x)>logа g(x) ?.

«Множество первообразных» - Первообразная. Выберите первообразную для функций. Определение уровня знаний. Решение нового типа заданий. Фронтальный опрос. Проверка выполнения. Выходной контроль. Обучающая самостоятельная работа. Понятие интегрирования. Общий вид первообразных. Формулы. Система оценивания.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: В.Н. Егорова, учитель математики КОУ «Средняя школа №1 (очно-заочная)»Определение производной. Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная АСВtg A-?tg В -?АВСРабота устноТангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему

АСВtg A-?tg В -?47АВСНайдите градусную меру < В.3Найдите градусную меру < А.Работа устноВычислите tgα, если α = 150°.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?Работа устно Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции разная. Что касается Матвея - у его дохода она вообще отрицательнаРабота устно

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может меняться быстрее или медленнее
Производная- это скорость изменения функцииКонспект
Задачи, приводящие к понятию производной1. Задача о скорости изменения функцииНарисован график некоторой функции. Возьмем на нем точку с абсциссой. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Для оценки крутизны графика функции удобная величина - тангенс угла наклона касательной. В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX Найдем k=tg α∆АМN: ˂ АNМ = 90˚, tgα = 𝐴𝑁𝑀𝑁 Геометрический смысл производнойКонспект

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Геометрический смысл производнойПроизводная функции равна тангенсу угла наклона касательной-это есть геометрический смысл производной
SВремя в пути равно tАBU=S / tЗадачи, приводящие к понятию производной2. Задача о скорости движения
ЗАДАЧА. По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения(метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=s(t), где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).РЕШЕНИЕ. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке MOM=S(t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ∆t . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP= s(t+ ∆t) – s(t). Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки M в точку P.Имеем: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t). Полученная разность называется приращением функции: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Итак, MP= ∆s (м).Тогда средняя скорость на промежутке времени : 𝑣ср.=∆𝑆∆𝑡 Средняя скорость S(t)S(t + Δt)0МРΔt
Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.Обозначение производной: 𝑦′𝑥0 или 𝑓′𝑥0 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 или 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥 ОпределениеКонспект
Мгновенная скорость – это средняя скорость на промежутке при условии, что ∆t→0, т. е.:𝒗мгнов.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎𝒗ср.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎∆𝑺∆𝒕 Мгновенная скоростьКонспект Рассмотрим два значения аргумента х0 и ∆х, где ∆х-приращение аргумента.Найдём приращение функции ∆f(x) = f(x0 + ∆х) – f(x0)Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента ∆𝐟(х)∆хВычислим предел этого отношения при ∆х → 0 lim∆𝑥→0Δ𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓′(𝑥) Алгоритм нахождения производной (по определению) Пример вычисления производнойРешениеКонспект

Пример 2.Найти производную функции y = xРешение: f(x) = x.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑥+∆𝑥−𝑥=∆𝑥.3.∆𝑓∆𝑥=∆𝑥∆𝑥=1.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→01=1.Значит, (𝒙)′ = 1 Пример вычисления производной Пример 3.Найти производную функции y = x2Решение: f(x) = x2.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2=𝑥2+2𝑥∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥2=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥).3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥)∆𝑥=2𝑥+∆𝑥.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0(2𝑥+∆𝑥)=lim∆𝑥→02𝑥+lim∆𝑥→0∆𝑥=2𝑥.Значит, (𝒙𝟐)′ = 2x Пример вычисления производной Пример 4.Найти производную функции y =𝒌𝒙+𝒎Решение: f(x) = 𝑘𝑥+𝑚.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑘𝑥+∆𝑥+𝑚− 𝑘𝑥−𝑚=𝑘𝑥+𝑘∆𝑥−𝑘𝑥=𝑘∆𝑥.3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=𝑘∆𝑥∆𝑥=𝑘.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑘=𝑘.Значит, (𝒌𝒙+𝒎)′ = k Пример вычисления производной Пример 5.Найти производную функции y = 𝟏𝒙Решение: f(x) = 1𝑥.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥= 1𝑥+∆𝑥−1𝑥=𝑥−𝑥−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥) .3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥):∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥=−1𝑥(𝑥+∆𝑥) .4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0−1𝑥(𝑥+∆𝑥)=−1lim∆𝑥→01𝑥2+𝑥∆𝑥=−lim∆𝑥→01lim∆𝑥→0𝑥2+lim∆𝑥→0𝑥∆𝑥=−1𝑥2 .Значит, 𝟏𝒙′ = −𝟏𝒙𝟐 Пример вычисления производной Таблица производных𝑪′=𝟎 𝒙’ = 1𝒙𝟐′=𝟐𝒙𝒌𝒙+𝒎′=𝒌𝟏𝒙= −𝟏𝒙𝟐 Закончи фразу:Наш сегодняшний урок был посвящен …На уроке я узнал, что …На уроке я научился …Производная функции в точке равна … касательной, проведенной к графику функции в данной точкеСкорость изменения функции - это …Мне было трудно … МОЛОДЦЫ!
ppt_y

Приложенные файлы