Задача С2

Плоская ферма, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точках А и В , причём в одной из них шарнирно-неподвижно, а в другой опирается на подвижный шарнир (рис. 0 – 9). К ферме приложена наклонная сила , для которой модуль и угол указаны в таблице С2, горизонтальная сила и вертикальная ; в расчётах принять Q = 5 кН, Р = 20 кН, a =3 м.

Определить опорные реакции в точках А и В , усилия в стержнях 1, 2, 3, 4 методом вырезания узлов, а в стержнях 5, 6, 7 – методом сквозных сечений (Риттера).

Указания. Задача С2 – на расчёт плоской фермы, который сводится к определению опорных реакций и усилий в её стержнях. Опорные реакции можно найти обычными методами статики из 3-х уравнений равновесия, рассматривая ферму в целом как твёрдое тело.

При определении усилий в стержнях методом вырезания узлов мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние силы, реакции самих стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу: , . Условно предполагают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов. Если в результате вычислений получен ответ со знаком минус, то это значит, что соответствующий стержень сжат. Последовательность рассмотрения узлов обычно определяется условием: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать числа уравнений равновесия, т.е. двух.

Методом Риттера удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчётов. Для определения усилия в каком-нибудь стержне ферму рассекают на две части сечением, проходящем через три стержня, в том числе и через тот, в котором определяется усилие. Одну из частей вместе с приложенными к ней силами мысленно отбрасывают, а её действие заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней в сторону отброшенной части. Затем составляют уравнения моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно точки пересечения двух рассечённых стержней, усилия в которых на данном этапе не определяются. Эта точка пересечения называется точкой Риттера. Если точка Риттера находится в бесконечности, т.е. стержни параллельны, то составляют уравнение суммы проекций сил, приложенных к рассматриваемой части фермы, на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

Пример С2. Схема фермы, все действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С2.1.

Дано: Р =10 кН, F =30 кН.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов, 5 – 7 – методом сквозных сечений.

Решение. При определении опорных реакций ферма рассматривается как твёрдое тело. Опоры в узлах А и В мысленно отбрасываются и заменяются соответствующими реакциями: составляющие в узле А , в узле В (рис. С2.2).

Составляются три уравнения равновесия:

Из первого уравнения Х А = 5 кН, из третьего кН, из второго кН; знак «–» показывает, что истинное направление противоположно изображённому на рис. С2.2.

Проверка:

При определении усилий в стержнях 1 – 4 методом вырезания узлов сначала мысленно вырезается узел D (в нём сходятся два стержня, усилия в которых неизвестны), и изображаются все приложенные к нему силы и реакции (рис. С2.3).

Рис. С2.3 Рис. С2.4

По геометрическим размерам фермы (рис. С.2.5) , следовательно, , . Уравнения равновесия имеют вид

кН.

кН.

Затем вырезается узел А (рис. С2.4), здесь неизвестны усилия ;

При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями , которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).

Для определения составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L ).

Для определения составляется уравнение моментов относительно точки N .

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. § 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по узлам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов связаны соотношением

В самом деле, в жестком треугольнике, образованном из трех стержней, будет три узла (см., например, ниже на рис. 74 треугольник ABD, образованный стержнями 1, 2, Н). Присоединение каждого следующего узла требует два стержня (например, на рис. 74 узел С присоединен стержнями 4, 5, узел Е - стержнями 6, 7, и т. д.); следовательно, для всех остальных узлов потребуется стержней. В результате число стержней в ферме При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики (см. § 17), рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перейдем к определению усилий в стержнях.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов.

Ход расчетов поясним на конкретном примере.

Рассмотрим изображенную на рис. 73, а ферму, образованную из одинаковы» равнобедренных прямоугольных треугольников, действующие на ферму силы параллельны оси и численно равны:

В этой ферме число узлов а число стержней Следовательно, соотношение (38) выполняется и ферма является жесткой без лишних стержней.

Составляя уравнения равновесия (29) для фермы в целом, найдем, что реакции опор направлены, как показано на рисунке, и численно равны.

Переходим к определению усилий в стержнях. Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни - арабскими. Искомые усилия обозначим S, (в стержне ), (в стержне 2) и т. д. Отрежем мысленно все узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям Изображаем сразу все эти силы на рисунке, направляя их от узлов, т. е. считая все стержни растянутыми (рис. 73, а; изображенную картину надо представить себе для каждого узла так, как это показано на рис. 73, б для узла III). Если в результате расчета значение усилия в каком-нибудь стержне получится отрицательным, это будет означать, что данный стержень не растянут, а сжат Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, на рис. 73 не вводим, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня 1, равны численно вдоль стержня 2 - равны и т. д.

Теперь для сил, сходящихся в каждом узле, составляем последовательно уравнения равновесия (12):

Начинаем с узла где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла получим:

Отсюда находим:

Теперь, зная переходим к узлу II. Для него уравнения равновесия дают откуда

Определив составляем аналогичным путем уравнения равновесия сначала для узла III, затем для узла IV. Из этих уравнений находим:

Наконец, для вычисления составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось Получим откуда

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла VI можно составить как проверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равновесия всей фермы в целом при определении (см § 181.

Окончательные результаты расчета можно свести в таблицу

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержии сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стержня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную упомянутым двум стержням. Например, в ферме, изображенной на рис 74, при отсутствии силы РА нулевым будет стержень 15, а следовательно, и 13. При наличии же силы один из этих стержней нулевым не является.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неизвестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия в форме (31) или (30), беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

• продемонстрировать задание конфигурации и параметров фермы;
• показать заполнение таблицы панелей и выбор шаблона для каждой панели;
• познакомить студента с командой Упаковка ;
• научить студента задавать различные жесткостные характеристики стальных сечений;
• показать, как осуществляется поворот сечения.

Условие задачи

Для фермы (Рис. 5.3.1) длиной требуется:

N ;

Длина панели d = 5м. Высота фермы h = 2м, отметка конька H = 4м (Рис. 5.3.1). Сечения стержней фермы:

верхний пояс - тавр 20БТ * (Рис. 5.3.2, а );

нижний пояс - тавр 20БТ * , повернутый на 180 градусов (Рис. 5.3.2, б );

стойки и раскосы из двух неравнополочных уголков 75 х 50 х 8 (Рис. 5.3.2, в ). Материал фермы - сталь С235. Величина силы P = 2кН.

Рис. 5.3.1 Расчетная схема фермы

а ) б ) в )

Рис. 5.3.2 Поперечные сечения стержней фермы:

а ) верхний пояс; б ) нижний пояс; в ) стойки и раскосы

Методические указания

Создание расчетной схемы

1. Запуск программы. Пуск Программы Lira Soft Lira 10.4 LIRA 10.4x86 (LIRA 10.4x64).

2. В редакторе начальной загрузки «Новый проект» выберите Создать новый проект и задайте параметры проекта:

• имя – Задача 3;
• описание – Расчет плоских ферм;
• тип создаваемой задачи – (1) Плоская ферма или балка-стенка (X, Z). Нажмите кнопку Создать .

3. Создание геометрии расчетной схемы. Схема Добавить ферму(кнопка на панели инструментов) параметры шаблона.

• На панели активного режима выберите конфигурацию фермы по очертанию поясов – трапециевидная

.

• Задать параметры фермы:

Высота фермы (h) = 2 м;

Расстояние до конька (L) = 15 м;

Отметка конька (H) = 4 м;

Плоскость построения – XoZ.

· Заполните Таблицу панелей , указывая количество повторов. Всего панелей 6. Длина каждой панели 5м. Число повторов равно 1.

· Выделив первую строку таблицы, выберите шаблон с нисходящим раскосом. Далее работайте со второй строкой и т.д. Панели у данной фермы разные, поэтому для каждой нужно выбрать или задать свой шаблон. Выбор нужного шаблона определяется только конфигурацией решетки, т. к. углы наклона верхнего пояса были заданы очертанием решетки ранее.

.

Панель 1 Панель 2 Панель 3

.

Панель 4 Панель 5 Панель 6

· Щелкните по кнопке Использовать фрагмент.

· Затем с помощью курсора мыши необходимо созданный фрагмент добавить к расчетной схеме. Для этого курсор мыши подведите к пересечению точечных линий на сети построений (это точка (0;0;0) глобальной системы координат) и при возникновении значка подтвердите щелчком мыши точку вставки фрагмента схемы (Рис. 5.3.3).

Рис. 5.3.3 Фрагмент схемы

· Используя команду «Перемещения ». «Правка » - «Переместить выделенное » - использовать точки вставки. Выделяем узлы верхнего пояса по обе стороны конька и кликаем левой кнопкой мыши на координату, соответствующую по оси Z высоте фермы (Рис. 5.3.4.

Рис. 5.3.4 Перемещение узлов по оси Z

· Аналогично проводим подобную операцию для других узлов (Рис. 5.3.5).

Рис. 5.3.5 Перемещение узлов по оси Z

Рис. 5.3.6 Расчетная схема

4. Увеличение числа элементов сети. В левом нижнем углу экрана раскройте список около надписи «Сеть» и поставить вместо 10 элементов 30, т.к. длина нашей фермы 30 метров.

5. Вывод на экран номеров узлов и элементов. Вид Изменить атрибуты представления модели

· В панели активного режима Атрибуты представления в ветке Элементы установите флажок Номер ;

· После этого в ветке Узлы установите флажок Номер ;

· Уберите флажок с команды Использовать выделенные объекты ;

· Уберите флажок с команды Добавить префиксы к значениям.

· Щелкните по кнопке Назначить .

Те выделения (галочки), которые даются программой по умолчанию снимать не рекомендуется.

6. Упаковка схемы. Правка Упаковать модель (кнопка на панели инструментов). В диалоговом окне Упаковка модели щелкните по кнопке Упаковать. Эта команда осуществляет «сшивку» совпадающих элементов и узлов.

7. Выделение левого узла фермы, имеющего шарнирно-неподвижную опору. Выбор Выбрать объекты (кнопка на панели инструментов). После появления панели активного режима Параметры выбора объектов с помощью курсора выделите левый узел фермы. Узел окрасится в красный цвет. По умолчанию отметка узлов выполняется с помощью прямоугольной рамки. При движении рамки налево элементы и узлы выделяются полным попаданием либо касанием, а при движении рамки направо только полным попаданием.

8. Задание связей левому узлу фермы. Схема Назначить связи. На панели активного режима Назначить связи отметьте галочками запрещенные перемещения в направлении осей X и Z . Щелкните по кнопке Закрепить . .

9. Выделение правого узла балки, имеющего шарнирно-подвижную опору. Для вызова панели активного режима Параметры выбора объекта одновременно нажмите клавиши Ctlr и Shift . Не отпуская их, курсором выделите правый узел балки (узел окрасится в красный цвет).

10. Задание связей правому узлу фермы. Схема Назначить связи. На панели активного режима «Назначить связи » отметьте галочкой запрещенные перемещения в направлении оси Z . Щелкните по кнопке «Закрепить» . Красный цвет у узла исчезнет. Под узлом будут изображаться связи, запрещающие линейные перемещения .

11. Задание сечений. (кнопка на панели инструментов).

Рис. 5.3.7 Задание сечений/жесткостей

На панели для задания геометрических размеров в описании занесите Стержни нижнего пояса . Разверните тавр на 180 градусов .

• Из категории Стальные сечения выберите тип сечения Шаблоны составных сечений Спаренные сечения. Для задания базового профиля надо щелкнуть по изображению двутавра в середине окна активного режима и в раскрывающемся списке выбрать уголок неравнополочный.

В описании занесите Раскосы и стойки . Задайте профиль 75x50x8 .

· Для просмотра исходных данных любого сечения сделайте его активным в списке сечений.

· Для выхода из Редактора сечений/жесткостей щелкните мышкой по вкладке Главный вид .

12. Задание материала. Редакторы Редактор материалов (кнопка на панели инструментов).

· Для выхода из Редактора материалов щелкните мышкой по вкладке Главный вид .

13. Назначение сечений и материалов элементам расчетной схемы. Конструирование Назначить сечение ,материал и параметры конструирования (кнопка на панели инструментов).

· На панели активного режима Назначить жесткости в Параметрах назначения укажите радио-кнопкой Использовать сечение и материал.

Выделение элементов верхнего пояса. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Большим резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите элементы верхнего пояса фермы.

На панели активного режима Назначить жесткости выберите и нажмите на кнопку Назначить .

Аналогично выделите элементы нижнего пояса, выберите и назначьте.

Для выбора раскосов и ферм сначала выделите все стержни фермы, затем повторным выделением стержней верхнего и нижнего пояса фермы снимите с них выделение. Выделенными останутся раскосы и стойки.

Назначьте им сечение . Материал для всех стержней остается одинаковым. Его изменять не надо.

14. Формирование загружений. Редакторы Редактор загружений (кнопка н а панели инструментов).

· На панели активного режима щелкните по закладке Добавить загружение и в раскрывающемся списке выберите Статическое загружение .

· Для выхода из вкладки Редактор загружений щелкните мышкой по вкладке Главный вид .

15. Назначение нагрузок. Схема Назначить нагрузки (кнопка на панели инструментов).

• Выделение крайних верхних узлов фермы. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите сначала левый, потом правый верхние узлы фермы.

· В панели активного режима Добавление нагрузок кликните на выпадающей список Библиотека нагрузок Нагрузки на узел Сосредоточенная сила (по умолчанию указана система координат Глобальная , направление – вдоль оси Z ).

· В панели Сосредоточенная сила задайте величину силы Р = 1 кН .

· Аналогично выделите 5 средних верхних узлов фермы и задайте величину силы Р = 2 кН .

16. Статический расчет. Расчет Выполнить расчет (кнопка на панели инструментов).

· Переход в режим результатов расчета можно осуществить с помощью меню Расчет Результаты расчета (кнопка на панели инструментов).

· В режиме просмотра результатов расчета по умолчанию расчетная схема отображается не деформированной.

Оформление отчета

17. Приведите в отчете расчетную схему фермы с номерами узлов и элементов.

18. Покажите поперечные сечения.

19. Представьте исходные данные в отчете.

20. Просмотр схемы деформирования. Результаты Деформированная схема (Рис. 5.3.8).

• Обратите внимание на горизонтальное перемещение правого опорного узла.

· Верните исходную схему. Результаты Исходная схема.

Рис. 5.3.8 Деформированная схема

21. Выведите на экран и приведите в отчете эпюру продольных сил N .

· Результаты Результаты по стержням (кнопка на панели инструментов) Эпюра N . Щелкните по полю экрана правой кнопкой мыши и в контекстном меню выберите Визуальное представление Мозаика (Рис. 5.3.9).

Рис. 5.3.9 Мозаика продольных сил

22. Формирование и просмотр таблиц результатов расчета. Результаты Таблицы результатов (кнопка на панели инструментов);

• Выделение элементов рассчитываемой панели. Нажмите одновременно на кнопки Ctlr и Shift . Большим резиновым окном, двигаясь слева направо, выделите 5 элементов исследуемой панели.

· В боковой панели Формирования таблиц выделите название таблицы Усилия в стержневых элементах (указав для выделенных элементов) и нажмите на кнопку Сформировать.

· Полученная таблица Усилия в стержневых элементах отобразится в нижней части экрана.

· Выпишите значения усилий в стержнях исследуемой панели и занесите их в отчет.

· Для каждого элемента значения продольной силы даются для трех сечений.

· Значение продольной силы в сечении можно увидеть, щелкнув курсором по элементу.

23. Рядом приведите значения продольных сил в заданной панели, вычисленные в контрольной работе по строительной механике. Сравните результаты численного и аналитического расчета.

24. Аналитически рассчитайте и занесите в отчет значение нормального напряжения в любом стержне фермы, разделив величину продольной силы на площадь поперечного сечения . Чтобы найти площадь поперечного сечения вызовите: Редакторы Редактор сечений/жесткостей (кнопка на панели инструментов). Выделите в списке нужное сечение и в правой части экрана Вы увидите его геометрические характеристики.

Самостоятельная работа к заданию 3. Расчет плоской фермы

Для фермы (Рис. 5.3.10) требуется:

1. выполнить расчет фермы на статические нагрузки;

2. вывести на экран деформированную схему фермы;

3. вывести на экран мозаику продольных сил N ;

4. определить продольные силы в стержнях второй панели;

5. определить напряжение в любом стержне фермы аналитически.

Длина панели d= 3м. Высота фермы h = 3 м (Рис. 5.3.10). Сечения стержней фермы:

верхний пояс - из двух неравнополочных уголков 100 х 65 х 10 (Рис. 5.3.11, а );

нижний пояс - из двух неравнополочных уголков 160 х 10 х 10 (Рис. 5.3.11, б );

стойки и раскосы из двух неравнополочных уголков 75 х 50 х 8 (Рис. 5.3.11, в). Материал фермы - сталь С245. Величина силы P = 1.8кН.

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т.п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами.

Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами.

Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней пренебрегают. Стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм, без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней m и число узлов n связаны соотношением

m = 2n -3.

Если m> 2n- 3, то ферма статически неопределимая;

если m< 2m- 3, конструкция перестает быть геометрически неизменяемой, получает подвижность (становится механизмом).

Расчет ферм сводится к определению опорных реакция и усилий в ее стержнях.

Опорные реакции находят обычными методами статики, рассматривая ферму в целом как твердое тело.

Усилия в стержнях можно определить двумя методами.

Метод вырезания узлов. Этим методом удобно пользоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом узле.

При решении задач методом вырезания узлов рекомендуется такая последовательность действий:

2. Вырезать узел, в котором сходятся два стержня, и, рассматривая его равновесие под действием активных сил и реакций разрезанных стержней; определить эти реакции из двух уравнений проекций сил, приложенных к узлу, на декартовы оси координат;

3. Переходя от узла к узлу, рассматривать аналогично равновесие каждого узла; при этом в каждом узле должно быть только два неизвестных усилия в стержнях.

Метод сечений (метод Риттера). Этим методом удобно воспользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, в частности, для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми. Затем составляют уравнения равновесия, беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

1. Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматривая её как твердое тело;

2. Разрезать мысленно ферму, к которой приложены все внешние силы, на две части так, чтобы число разрезанных стержней не превышало трех, и заменить действие отброшенной части искомыми усилиями стержней, полагая, все стержни растянутыми;

3. Составить уравнения равновесия для части фермы так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие. Для этого нужно составить уравнение моментов относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий; или, если два стержня параллельны, то можно составить уравнение проекций на ось, перпендикулярную этим стержням, в которое также войдет одно неизвестное усилие;

4. Решая каждое из составленных уравнений, найти искомые усилия в стержнях; если в ответе получается знак «минус», то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

ЗАДАЧА С2

Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также усилия в стержнях методом вырезания узлов и методом сечений. Схемы ферм показаны на рис. С2.0 – С2.2. Необходимые для расчета данные приведены в табл. С2.

Таблица С2

Пример С2. Для фермы, изображенной на рис. С2, определить реакции опор, а также усилия в стержнях 4, 5 6 методом вырезания узлов и методом сечений, если Р 1 = 5 кН , Р 2 = 10 кН , Р 3 = 15 кН , h 1 = h 2 = 3 м.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования « БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

Кафедра строительной механики

Д. В. Леоненко

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Учебно-методическое пособие для студентов строительных специальностей

Одобрено методической комиссией факультета ПГС

Гомель ■ 2006

ÓÄÊ 539.3 (075.8) ÁÁÊ 38.112

Р е ц е н з е н т – кандидат технических наук В. В. Талецкий (УО «БелГУТ»)

Леоненко, Д. В.

Л47 Расчет плоских ферм: учебно-метод. пособие для студентов строительных специальностей / Д. В. Леоненко. – Гомель: УО «БелГУТ», 2006. – 57 с.

ISBN 985-468-075-4

Изложены краткие теоретические сведения о расчете ферм на стати- ческую подвижную и неподвижные нагрузки. Рассмотрены способы определения усилий в фермах. Приведены подробные примеры решения типовых задач.

Пособие соответствует действующей в настоящее время программе по строительной механике. Предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения.

ÓÄÊ 539.3 (075.8) ÁÁÊ 38.112

ISBN 985-468-075-4

© Леоненко Д. В., 2006

© Оформление. УО «БелГУТ», 2006

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 1.1 Понятие о ферме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Классификация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Кинематический анализ ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Расчет ферм на неподвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Анализ напряженного состояния ферм

при неподвижной вертикальной нагрузке. . . . . . . . . . . . 19 1.6 Расчет ферм на подвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 Определение усилий по линиям влияния. . . . . . . . . . . . 27 1.8 Понятие о шпренгельных фермах. . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.9 Кинематический метод построения линий влияния. . . . . 31

2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 2.1 Расчет ферм способом вырезания узлов. . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Расчет ферм способом сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Расчет ферм на подвижную нагрузку. . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Расчет шпренгельных ферм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Понятие о ферме

Стержневая система с жестким или шарнирным соединением прямолинейных элементов в узлах, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными, называется фермой (рисунок 1.1,à ).

Сфера применения ферм весьма разнообразна: перекрытия зданий большого пролета, мосты, телевизионные башни и др. Рациональность этих конструкций обусловила их широкое распространение в настоящее время.

Расчетная схема фермы. В реальных фермах стержни соединены между собой жестко. При расчетах всегда принимают, что все узлы представляют собой идеальные шарниры, а нагрузки че- рез систему вспомогательных конструкций передаются в узлы ферм (рисунок 1.1, á ,â ).

В жестких узлах фермы возникает незначительный изгиб отдельных элементов, но напряжения от изгиба по сравнению с напряжениями от осевой силы малы, поэтому ими пренебрегают. В то же время в ряде случаев (например, в железобетонных фермах)

расчет осуществляется с учетом жесткости узлов, так как при игнорировании влияния изгибающих моментов возможны существенные погрешности в определении напряженного состояния массивных элементов. При этом ферма по характеру работы приближается к рамным конструкциям.

 действительности же нагрузки приложены не только к узлам, но и к отдельным стержням, т. е. расчетные схемы ферм значительно отличаются от реальных конструкций. Однако и в этом случае к ним применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема.

Идеализация расчетных схем, давая возможность упростить расчеты, незначительно сказывается на их точности. Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментально.

 некоторых случаях, особенно при реконструкции существующих сооружений, может оказаться, что кроме узловой неизбежна внеузловая нагрузка. В этом случае стержни, воспринимающие внеузловую нагрузку, будут испытывать изгиб с растяжением или сжатием. Эти стержни отдельно рассчитывают на местную изгибную нагрузку.

Основные элементы фермы. Расстояние между осями опор фермы (рисунок 1.2) называется пролетом. Стержни, располо-

женные по внешнему контуру фермы, называются поясными и образуют пояса. Совокупность стержней фермы между нижним и верхним ее поясами называетсярешеткой. Решетка, как правило, состоит из вертикальных (стоек ) и наклонных (раскосов ) стержней.

Если мысленно двигаться вдоль раскосов от опор фермы к середине, то по одним раскосам придется идти вниз, «нисходить», по другим – вверх, «восходить». В соответствии с этим раскосы подразделяют на нисходящие èвосходящие .

Рисунок 1.2

Часть фермы, расположенная между смежными узлами пояса, называется панелью , а расстояние между этими узлами пояса – длиной панели, наибольшее расстояние между поясами –высотой фермы.

Практика проектирования показывает, что оптимальные фермы получаются при соотношении размеров высоты к пролету примерно 1/ 8 ... 1/ 10.

1.2 Классификация

Фермы классифицируют по нескольким признакам.

В зависимости от характера структуры фермы разделяют на плоские и пространственные. Если все элементы ферм лежат в одной плоскости, их называют плоскими .Пространственными называют фермы, у которых оси всех стержней, включая опорные, не лежат в одной плоскости. Далее будем рассматривать только плоские фермы.

По назначению фермы подразделяют:

на фермы пролетных строений мостов (рисунок 1.3, à ); стропильные, используемые в качестве несущих конструкций покрытий промышленных и гражданских зданий (рисунок 1.3,á ), а также подкрановые фермы; фермы башенных (рисунок 1.3,â ), автомобильных и других кранов;

фермы-мачты линий электропередачи (рисунок 1.3,ã ) è äð.

Рисунок 1.3

По очертанию поясов фермы делят (рисунок 1.4): на фермы с параллельными поясами; треугольные фермы; трапецеидальные фермы;

фермы с криволинейными поясами (полигональные).

У полигональных ферм негоризонтальными могут быть как один, так и оба пояса. Узлы в верхнем и нижнем поясах обычно располагаются по какой-либо кривой – параболической, эллипти- ческой, коробовой или окружности. Стержни таких поясов прямолинейны и являются хордами кривой, на которой располагаются узлы.

Рисунок 1.4

По типу решетки фермы подразделяют на фермы с простой

è сложной решетками.

Ê фермам с простой решеткой (рисунок 1.5) относят:

фермы с раскосной решеткой, которая представляет собой непрерывный зигзаг с попеременно чередующимися раскосами и стойками;

фермы с треугольной решеткой, которая образована только одними раскосами с чередующимся наклоном. К этому же классу принадлежат фермы с треугольной решеткой и дополнительными стойками;

фермы с полураскосной решеткой. Решетки таких ферм образованы путем замены раскосов на полураскосы. В каждой панели имеются два разных по направлению раскоса, идущих к стойке.

Ферма с треугольной решеткой и дополнительными стойками

Ферма с полураскосной решеткой

Рисунок 1.5

Сложными решетками называются такие, которые получаются наложением друг на друга двух и более простых решеток. Фермы с такими решетками (рисунок 1.6) подразделяют:

на фермы с двухраскосной решеткой. Через каждую панель (кроме крайних) этой фермы проходят два раскоса одинакового направления;

двухрешетчатые и многорешетчатые фермы;

шпренгельные фермы. Их решетка образуется введением в

обычную решетку дополнительных элементов - шпренгелей. Шпренгели воспринимают местную нагрузку, приложенную вне узлов основной фермы. Они уменьшают длину панелей сжатых поясов, в результате чего повышается устойчивость сжатых стержней.

Шпренгельные фермы

Многорешетчатая ферма

Рисунок 1.6

По направлению опорных реакций различают безраспорные и распорные фермы.

В опорах безраспорных ферм при действии на них вертикальной нагрузки возникают только вертикальные опорные реакции. Горизонтальная составляющая опорных реакций (распор) в шар- нирно-неподвижной опоре равна нулю.

Безраспорные фермы (рисунок 1.7) в зависимости от расположения опор подразделяются на балочные, консольно-балочные (фермы на двух опорах), а также фермы-консоли, один конец которых оперт, другой свободен.

Заметим, что одна и та же по структуре ферма, но с разными опорами может относиться к различным классам. Так, ферма, изображенная на рисунке 1.9, à , является распорной, а на рисунке 1.9,á – безраспорной.

Рисунок 1.9

В зависимости от уровня езды мостовые фермы делятся на фермы с ездой понизу, фермы с ездой поверху и фермы с ездой посередине (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10

Рассмотренная классификация не является исчерпывающей. В ней указаны наиболее типичные расчетные схемы плоских ферм, которые применяются в практике строительства.

1.3 Кинематический анализ ферм

Всякая ферма, применяемая в строительстве, должна проектироваться так, чтобы она была геометрически неизменяема èнеподвижно прикреплена к земле . Чтобы убедиться в неизменяемости фермы, проводят кинематический анализ. При этом основными понятиями являются диск – неизменяемый элемент сооружения и число степеней свободыW – число независимых геометрических параметров, определяющих положение диска или сооружения на плоскости.

Кинематический анализ состоит из следующих этапов:

à ) определение числа степеней свободыW системы и проверка необходимого аналитического условия неизменяемости;

á ) структурный анализ сооружения и проверка достаточного условия неизменяемости.

Диски и способы их соединения. Простейшим диском является шарнирный треугольник. Присоединяя к нему узлы с помощью двух стержней, оси которых не лежат на одной прямой,