Краткая теория

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :

где – функция Лапласа :

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

В частности, при справедливо равенство:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .

Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

Пример решения задачи

На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

Решение:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

Получаем:

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину :

По условию

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Распределение величины Х наз.нормальным, если плотность распределения этой величины, выражается формулой: f(x)=

Нормал. распределение - двухпараметрическое распределение (имеет 2 параметра: сред.величина и сред. квадратическое отклонение).

f(x) Кривая

нормального

распределения

«Правило трех сигм» Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения.

|x i - a| 3Ϭ; а - 3Ϭ Xi а + 3Ϭ

Правило «трёх сигм» применяется, если распределение случайной величины неизвестно, но выполняется условие «трех сигм», то предполагают, что эта величина распределена нормально.

P (|x - a| Ϭ)=0,6823; P (|x - a| 2Ϭ)=0,9545; P (|x - a| 3Ϭ)=0,9973

15.Критерии согласия. Проверка гипотезы распределения…

Критерия согласия -критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения: Смирнова; Колмагорова; Критерии Пирсона:

Алгоритм проверки:1.Выдвигается гипотеза Н 0: совокупность распределена нормально

2.Вычисляются теоретические частоты и

3.По таблице «критические точки распределения » при заданном уровне значимости и числе степеней свободы, находят

4.Если в результате сравнения , то Но не отвергается. В противном случае - отвергается.

Ошибка 1рода состоит в том, что будет опровергнута правильная гипотеза. Эту ошибку называют уровнем значимости(альфа )

Ошибка 2рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Число степеней свободы: = n – k – 1

16. Оценка отклонения теорет. Распределения от нормального…

Оценка отклонения теоретического распределения от нормального осуществляется с помощью показателей асимметрии(As) и эксцесса(Ek).

As= , -3Ek= – 3

Ek=0 – распределение нормальное

Ek>0-распределение

островершинное

Ek<0-распределение плосковершинное

Мо<Ме< - правосторонняя ассиметрия (As>0); - левосторонняя ассиметрия (As<0); Ме= - симметричное нормальное распределение (As=0). As>0,5 - значительна; As<0,25 – не значительна

17. Понятие выборочной и генеральной совокупности. Виды…

Выборочное наблюдение – вид статистического наблюдения, при котором обследованию подвергается не вся совокупность, а лишь часть её единиц, отобранных в определенном порядке, при этом вся совокупность в целом называется генеральной, а единицы подвергающиеся наблюдению называются выборочной совокупностью или выборкой.

Виды отбора :1) повторный – отбор, при котором отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность 2)бесповторный – отбор, при котором отобранный объект, в генеральную совокупность не возвращается.

Способы отбора : 1)Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

2)Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части:

а) случайный – отбор, при котором объекты извлекаются случайным образом по одному из генеральной совокупности б) типический – отбор, при котором объекты отбираются не из всей совокупности, а из каждой её качественно-однородной группы в) механический – отбор, при котором генеральную совокупность делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку и затем из каждой группы выбирают один объект г) серийный – отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности сериями, которые затем подвергают обследованию

18.Ошибки выборки: средняя, предельная, относительная….

Ошибки выборки : 1)Средняя:

– для повторного отбора; - для бесповтор-го

2)Предельная: = t* ,где t- коэф-т доверия, определяется по таблице значений Лапласа при заданной доверительной вероятности

Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ ):

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой. Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ, а + 3σ ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм» : если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.

16.7. Показательное распределение.

Определение . Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х , которое описывается плотностью

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним параметром λ . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Найдем функцию распределения показательного закона:

Следовательно,

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в интервал (а, b ):

Значения функции е -х можно найти из таблиц.

16.8. Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t 0 = 0 и должен проработать в течение периода времени t . Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F (t ) = p (T > t ) определяет вероятность отказа за время t . Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R (t ) = p (T > t ) = 1 – F (t ).

Эта функция называется функцией надежности .

16.9. Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F (t ) = 1 – e - λt .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R (t ) = 1 – F (t ) = 1 – (1 – e -λt ) = e -λt .

Определение . Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R (t ) = e - λt ,

где λ – интенсивность отказов.

Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f (t ) = 0,1 e - 0,1 t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как λ = 0,1, R (10) = e -0,1 · 10 = e -1 = 0,368.

16.10. Математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п .

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то
, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

+(при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
, откуда).

Свойства математического ожидания.

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С ) = С.

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ·1 = С .

Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

М (СХ ) = С М (Х ).

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).

Определение. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .

Определение. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY ) = M (X )M (Y ).

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ·p 1 g 1 + x 2 y 1 ·p 2 g 1 + x 1 y 2 ·p 1 g 2 + x 2 y 2 ·p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )·M (Y ).

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ).

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность – р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,

M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).

Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4М (Х )=

При проведении практических вычислений за единицу измерения отклонения случайной величины, подчиненной нормальному закону от ее центра рассеивания (математического ожидания), принимают среднеквадратичное отклонение а. Тогда на основании формулы (7) § 17 получаются полезные при различных вычислениях равенства

Эти результаты геометрически изображены на рис. 439.

Почти достоверно, что случайная величина (ошибка) не отклонится от математического ожидания по абсолютной величине больше чем на Это предположение называют правилом трех сигм.

В теории стрельбы и при обработке различных статистических материалов бывает полезно знать вероятность попадания случайной величины в интервалы (0, Е),

При плотности распределения, определяемой по формуле (1) § 19. Знание этих вероятностей во многих случаях сокращает вычисления и помогает при анализе явлений.

При вычислении этих вероятностей будем пользоваться формулой (8) § 19 и таблицей функции

Результаты вычислений геометрически изображены на рис. 440, который называется шкалой рассеивания ошибок. Из этих расчетов следует, что практически достоверно, что значение случайной величины попадает в интервал Вероятность того, что значение случайной величины попадает вне этого интервала, меньше 0,01.

Пример 1. Производится один выстрел по полосе шириной 100 м. Прицеливание рассчитывалось на среднюю линию полосы, которая перпендикулярна к плоскости полета снаряда. Рассеивание подчиняется нормальному закону с вероятным отклонением по дальности Определить вероятность попадания в полосу (рис. 441). Срединное отклонение по дальности в теории стрельбы обозначают боковое .

Решение. Воспользуемся формулой (7) § 19. В нашем случае . Следовательно,

Замечание. Приближенно можно было бы решить задачу, не пользуясь таблицами функции , а воспользоваться шкалой рассеивания (рис. 440).

Случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического , при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

где - стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; - дисперсия; - i-й элемент выборки; - среднее арифметическое выборки; - объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе n − 1 ) от корня из дисперсии(среднеквадратического отклонения)(в знаменателе n ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает. Выборка - лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность - абсолютно все возможные результаты. Получить результат, не входящий в генеральную совокупность абсолютно невозможно в принципе. Для случая с бросанием монетки генеральной совокупностью является: решка, ребро, орел. а вот пара орел-решка уже лишь выборка. Для генеральной совокупности математическое ожидание совпадает с истинным значением оцениваемого параметра. А вот для выборки не факт. Математическое ожидание выборки имеет смещение относительно истинного значения параметра. В силу этого, среднеквадратичная ошибка больше чем дисперсия, так как дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения от среднего значения, а среднеквадратичное отклонение - математическое ожидание отклонения от истинного значения. Разница в том, от чего ищем отклонение, когда дисперсия, то от среднего и не важно истинное это среднее или ошибочно, а когда среднеквадратичное отклонение, то ищем отклонение от истинного значения.

Правило 3-х сигм () - практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго - не менее чем с 99,7 % достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале. При условии что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки. Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не σ , а s . Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Правило трёх сигм" в других словарях:

Дисперсия случайной величины мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или.… … Википедия

- (англ. six sigma) концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980 е годы и популяризированная в середине 1990 х после того, как Джек Уэлч применил её как ключевую стратегию в General Electric. Суть… … Википедия

- (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; близкие термины: стандартное отклонение, стандартный разброс) в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины … Википедия

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах… … Википедия

Плотность вероятности Зеленая лин … Википедия

НЕРВНАЯ СИСТЕМА - НЕРВНАЯ СИСТЕМА. Содержание: I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н.с. . 518 II. Анатомия Н. с................. 524 III. Физиология Н. с................ 525 IV. Патология Н.с................. 54? I. Эмбриогенез, гистогенез и филогенез Н. е.… … Большая медицинская энциклопедия

Самая многочисленная группа губок. Это преимущественно мягкие эластичные формы. Скелет их образован одноосными иглами. Всегда имеется в том или ином количестве спонгин, с помощью которого иглы склеиваются между собой в пучки или волокна … Биологическая энциклопедия

В медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… … Медицинская энциклопедия

Содержание 1 Менеджмент на основе хозяйственной деятельности 2 Разработка деловой ситуации 3 … Википедия

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Расчёт себестоимости по видам деятельности (Activity Based Costing, ABC) ­ это специальная модель описания затрат, которая идентифицирует работы фирмы … Википедия