Задачи этого типа появились в ЕГЭ относительно недавно, но застали врасплох как учеников, так и многих учителей. А всё потому что решаются они с помощью производной — инструмента, совершенно непривычного для второй части экзамена.

Задача 17. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

В приведённом условии есть важный момент, после осознания которого у вас вообще не будет проблем с решением подобных задач. Дело в том, что величина $t$, указанная для первого завода и для второго — это не одно и то же число ! Другими словами, суммарное время рабочих на первом и другом заводе будет разным.

Для решения введём новые переменные: ${{a}^{2}}$ — суммарное время рабочих на первом заводе, ${{b}^{2}}$ — суммарное время на втором. С учётом производительности получим:

$\begin{align}& {{a}^{2}}\to 3a \\& {{b}^{2}}\to 4b \\\end{align}$

Таким образом, затратив суммарно ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ часов времени, мы получим $3a+4b$ единиц продукции в неделю. Всё остальное — элементарная математика, подробно описанная в видеоуроке:

В прошлый раз мы рассматривали довольно «противные» задачи, связанные с вычислением времени в задачах про кредиты. Но это было очень просто по сравнению с тем, что мы будем рассматривать сегодня, а именно экономическую задачу 17 про производительность труда, в которой требуется применять производную. Эти задачи появились в ЕГЭ по математике относительно недавно, и те, кто уже с ними столкнулся, оценили, что, во-первых, условие таких задач довольно длинное, а, во-вторых, в каждой из таких задач есть неприятная зацепка, на которой «прогорели» очень многие ученики.

Думаю, вы уже догадались, что речь идет о той самой задачи 17, когда у Григория есть два завода, и еще указана производительность труда, и требуется оценить, какое наибольшее количество продукции можно произвести на этих двух заводах, если распределить нагрузку оптимально. Но на самом деле, в этих задачах 17 нет ничего сложного, даже чуть проще, чем многие задачи на кредиты. Поэтому сейчас мы рассмотрим одно из таких заданий, внимательно пробежимся по каждому пункту и посмотрим, как именно должно выглядеть идеальное ее решение.

Задача № 1

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Шаг первый: вводим переменные

Прежде всего, перед тем как переходить к непосредственному решению задачи 17 из ЕГЭ по математике, попытаться что-то посчитать, составить какие-то формулы, поймите одну простую вещь: величина ${{t}^{2}}$, данная и в первом, и во втором предложении, никак не связаны друг с другом. Коэффициент $t$ нам дан исключительно для того, чтобы сравнить производительность на разных заводах при одинаковом расходе времени. Думаю, это сравнение абсолютно очевидно: на первом производительность составляет $3t$, а на втором — $4t$, т.е. чуть побольше. На практике это означает следующее: давайте распишем, что происходит на каждом из них.

На первом заводе у нас расходуется ${{a}^{2}}$ времени (после замены) и производится $3a$ единиц продукции. На втором — ${{b}^{2}}$ времени и $4b$ продукции.

А теперь давайте сложим расходы времени и суммарный выпуск продукта.

Получим, что суммарный расход времени составляет ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$, а суммарный расход продукции — $3a+4b$. При этом еще раз обращаю ваше внимание: никто не говорил, что ${{a}^{2}}$ и ${{b}^{2}}$ должны быть равны. Ключевое слово здесь «если» и в первом, и во втором случае. Именно поэтому мы так смело меняем коэффициенты $t$ на $a$ в первом случае и на $b$ во втором случае.

Давайте посмотрим, что у нас получилось. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ — это суммарный расход времени. Поскольку Григорий платит рабочему 500 рублей за каждый час работы, то всего он сможет заплатить такую сумму:

Вот и первое уравнение.

На самом деле, основная сложность этой задачи 17 про производительность труда — вовсе не составление уравнения. Она состоит в том, что нужно понять, что на первом и на втором заводе время разное. Именно поэтому для первого мы везде заменили $t$ на $a$, а для второго — $t$ на $b$. В итоге как вы сейчас увидите, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными, которое легко упрощается — одна неизвестная легко выражается через другую. И поэтому вся функция, выражающая количество произведенного товара, на самом деле зависит от одной-единственной переменной, в нашем случае это будет переменная $a$.

Далее, я думаю, все понятно: у нас есть функция, отрезок, на котором эта функция рассматривается, а все, что нам требуется найти — это наибольшее значение этой функции на данном отрезке. Вообщем, классическая задача для применения производных, в нашем случае новая задача 17 из ЕГЭ по математике.

Суммарный выпуск продукции ($S$) равен:

Вот теперь задача и проявилась: имея ограничение на $a$ и $b$, нам нужно добиться того, чтобы $S$ принимала свое максимальное значение. Для начала давайте немножко поработаем с уравнением: $$

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10000\]

Отсюда выразим $b$:

\[{{b}^{2}}=10000-{{a}^{2}}\]

Конечно, тут следовало бы перед выражением поставить $\pm $, однако у нас речь идет о времени, а оно не может быть отрицательным, поэтому мы берем положительное значение. Итого суммарный объем выпускаемого товара может быть выписан как функция от одной-единственной переменной $a$:

Теперь нам нужно найти максимальное значение этой функции на всей области определения, а совершенно очевидно, что величину $a$, т.е. количество товара, выпущенного на первом заводе, увеличивать до бесконечности нельзя, просто потому что корень имеет конкретную область определения — величина, стоящая под корнем, не должна быть отрицательной. Давайте запишем это:

\[{{a}^{2}}\le 10000\]

\[\left| a \right|\le 100\]

Итого мы получили классическую задачу из первой части ЕГЭ по математике: у нас есть функция, есть интервал, соответственно, нужно найти максимальное значение этой функции на заданном интервале. Давайте считать производную:

\[{S}"=3+4\cdot \frac{1\cdot \left(10000-{{a}^{2}} \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=3+\frac{4\cdot \left(-2a \right)}{2\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}=\]

\[=3-\frac{4a}{\sqrt{10000-{{a}^{2}}}}\]

Решаем полученное уравнение:

Теперь, зная, чему равно $a$, легко найти $b$:

Однако для полного и обоснованного решения необходимо понять знак производной. Давайте начертим числовую прямую и отметим на ней $a=60$ и посмотрим, что происходит при $a>60$:

Например, если взять $a=99$ мы получим следующее:

Если посмотрим на исходное выражение, то очевидно, что $\sqrt{199}<99$, но посчитав его, получаем в ответе отрицательное число.

Отсюда следует, что$a=60$является точкой максимума, т.е. именно той, которую мы и хотели найти. Именно в ней наша исходная функция принимает исходное значение. Осталось подставить в $S$ полученное значение $a$ и $b$:

Окончательный ответ: 500 единиц товара.

Нюансы решения

Как видите, все оказалось не так уж и сложно. Единственно, что нам нужно запомнить — это то, что величина ${{t}^{2}}$, когда речь идет о первом заводе дает нам информацию о производительности труда именно на нем, т.е. связывает время, затраченное на производство и количество продукции в рамках только него.

Величина ${{t}^{2}}$, относящаяся ко второму заводу, говорит нам именно о нем и никак не связана с первым.

Более того, считать, что количество времени, затраченного рабочими на первом и на втором заводах, абсолютно одинаково — это вообще глупость, потому что в этом случае полученное уравнение оказалось бы намного проще и решалось бы как элементарное линейное: нам бы не потребовалось никаких производных, никаких доказательств, что мы получили точку максимума — мы просто бы разделили зарплату между рабочими первого и второго производств пополам.

Поэтому запомните: время, потраченное на первом и на втором заводах, разное, поэтому пусть на первом потрачено ${{a}^{2}}$ времени, а на втором — ${{b}^{2}}$. В этом случае задача действительно становится сложнее, при этом интересней и вполне достойной называться задачей 17 из ЕГЭ по математике.

Задача № 2

А в качестве десерта предлагаю решить еще одну такую же задачу 17 из ЕГЭ по математике, однако выкладки в этот раз будут минимальными, по возможности такими, какие и нужно делать на экзамене по математике.

Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $t$ единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то выпускают $2t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час.

Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

Шаг первый: вводим переменные

Если рабочие на первом заводе трудятся ${{x}^{2}}$, то это дает нам $x$ единиц товара. На втором ${{y}^{2}}$ времени дает нам $y$ товаров. Вновь складываем расходы времени — ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ и отдельно складываем объем продукции — $x+2y$. Величина ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ — это суммарный расход времени за неделю.

Шаг второй: составляем и решаем уравнение

Поскольку за каждый час работы платится 500 рублей, то суммарный расход денег за неделю составит:

\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=60500\]

Таким способом, ограничения на ${{x}^{2}}$ и ${{y}^{2}}$ найдены.

Теперь необходимо записать сумму:

\[{{y}^{2}}=60500-{{x}^{2}}\]

Подставляем найденное значение $y$ в нашу формулу и получаем:

Находим производную этой конструкции:

\[{S}"=1+2\frac{1\left(-2x \right)}{2\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}=1-\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

Вновь приравниваем полученное выражение к нулю:

\[\frac{1}{1}=\frac{2x}{\sqrt{60500-{{x}^{2}}}}\]

\[\sqrt{60500-{{x}^{2}}}=2x\]

\[{{x}^{2}}=\frac{60500}{5}=121\cdot 100\]

Шаг третий: находим максимальное значение функции

Мы получили критическую точку функции $S$. Теперь необходимо доказать, что это точка максимума. Для этого начертим вновь прямую, отметим на ней полученную точку 110 и возьмем любое число, больше чем 110. Однако для упрощения дальнейших выкладок предлагаю взять не рандомное число как в прошлый раз, а посчитать его с помощью следующего метода. Для начала давайте найдем $y$. Запишем такое выражение:

Очевидно, что 220 больше 110, и если мы поставим его в нашу функцию, то получим число на отмеченном интервале:

Давайте подставим:

${S}"\left(220 \right)=1-\frac{2\cdot 220}{\sqrt{60500-{{220}^{2}}}}=1-\frac{440}{\sqrt{60500-48400}}=$

$=1-\frac{440}{\sqrt{12100}}=1-\frac{440}{110}=1-4=-3$

Следовательно, справа от числа 110 мы получаем отрицательную производную, а слева, естественно, будет положительная.

Итого 110 — точка максимума. Это является строгим обоснованием.

Теперь подставляем в выражение $x$ и $y$, которые мы нашли:

Ответ: 550 единиц товара.

Ключевые моменты решения задач17 на производительность труда из ЕГЭ по математике

Все, что нам нужно знать — это:

1. Правило вычисления производных сложных функций.
2. Правила решения несложных уравнений.

Кроме того, хотел бы отметить, что не надо бояться работать с большими числами. Такие выражения, когда у нас появляются пятизначные и более числа, абсолютно типичны для последних задач 17 из ЕГЭ по математике, потому что они реально трудные. Но на самом деле, в этих задачах из ЕГЭ нет ничего трудного. Вам только нужно знать следующее:

• ${{a}^{2}}\to a$ и ${{b}^{2}}\to 2b$ — как связано затраченное время с объемом выпущенного товара;
• $S=a+2b\to \max $ — суммарный объем товара находится по несложной формуле.

Кроме того, необходимо понимать, как связано время, затраченное на первом производстве и на втором, т.е. каковы максимальны ограничения на это время.

Надеюсь, это видео поможет вам построить собственный завод, где вы будете платить рабочим по 30 млн. рублей в неделю, если такой суммы вам окажется недостаточно, заходите на наш сайт, подписывайтесь на паблик ВКонтакте и на канал в YouTube. До новых встреч!

4. D96BFF Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

t t t t единиц товара.

Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Подобные задания
• Ответ

467F27 Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 30 250 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

9DA759 Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

15B94F Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

Владимиру нужно каждую неделю производить 410 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Подобные задания
• Ответ

9B66B1 Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 520 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

D84C39 Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

• Пример решения
• Подобные задания
• Ответ

D0B0C0 Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x 2 + x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x 2 + x + 7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

• Подобные задания
• Ответ

89F37B Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t =1;2;…). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

• Подобные задания
• Ответ

Так называется задача 19 на досрочном экзамене ЕГЭ по математике в 2015 году. Эта задача теперь решается принципиально иначе, чем в тексте демоварианта.

Предлагаю Вашему вниманию видеоролик посвященный решению этой задачи и еще три тестовых задания на эту же тему.

А вот еще один видеоролик по решению этой же задачи.

Вот такие некрасивые решения этой задачи. После такого моего заявления некоторые сочтут это задание не достойным их внимания. У нас всегда так, если мы не можем найти красивое решение какой-либо задачи, то в этом виновата, конечно, задача, но не мы сами.

Такая же ситуация и здесь. Нашли Интернете одно решение и не пытаемся искать другие. А зря. Эта задача имеет еще несколько решений.

Пусть первый завод работал х часов, а второй - у часов. Тогда 2х + 5у = 580. При этом выплаченная сумма будет равна 500(х 2 + у 2).

Нам нужно найти минимум функции 500(х 2 + у 2) при условии 2х + 5у = 580. Мы пришли к известной математической задаче о вычислении экстремума функции при заданном ограничении на перемененные, т. е. к так называемой задаче на условные экстремумы.

В курсе высшей математики разработаны специальные методы решения этой задачи. нам же придется ограничиться знаниями элементарной (школьной) математики. при этом предлагаем несколько решений этой задачи с опорой на различные наборы знаний.

Решение II (геометрическое).

Решение III (формулы приведения).

При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений

Значит, 5 800 000 - ответ нашей задачи.

Ответ: 5 800 000.

Согласитесь, красивое и простое решение этой задачи. Однако я здесь использовал одну элементарную формулу

Задачи для самостоятельного решения

1. Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся t 2 часов в неделю, то выпускают t единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся t 2 часов в неделю, то выпускают 2t единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час. Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?

2. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Видеоразборы и подборка экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.

Видеоразборы задач

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

Подборка задач

1. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
2. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:
   
   − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
   − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
   − каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
   − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
   − в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей;
   − выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
   − к июлю 2021 долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)
5. Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
6. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ — целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)
7. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей, где $S$ — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
   − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
   − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
   − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)
8. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2015)
9. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2015)
10. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
    Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)
11. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
12. Cергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
13. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
14. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $\dfrac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
15. Игорь купил акцию за 8 000. В конце каждого года стоимость акции увеличивается на 1 000. В любой момент Игорь может продать акцию и положить все деньги в банк на счет. В конце каждого года сумма на счету в банке увеличивается на 8%. В течении какого года Игорю нужно положить деньги в банк, чтобы через 25 лет после покупки акции сумма на счету в банке была максимальна?
16. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
17. По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
18. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
19. Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз с дефектом. Этот дефект можно устранить, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых после огранки составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них -- не более 30 карат (возможность равенства бриллиантов по весу на исключается). Известно, что стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из трех бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?
20. Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 часов работы станка А и 3 часа работы станка В, а для изготовления изделия второго типа требуется 2 часа работы станка А и 4 часа работы станка В (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, станок В - не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 денежных единиц прибыли, а каждое изделие второго типа - 200 денежных единиц прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
21. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
22. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
23. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
24. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
25. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
26. Зависимость объема $Q$ (в шт) купленного у фирмы товара от цены $Р$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q=15000-P$, $1000\leqslant P\leqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q+5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
27. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
28. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно за сутки для нужд промышленности?
29. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
30. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
31. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
32. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
33. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
34. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $у^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
35. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
36. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
37. Производство x тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px - q$. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
38. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации; $25 < t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?