Нигда сам не принимай решения, если ты сможешь сделать так, чтобы его принял кто- либо другой .

Принцип Пфайфера

Принятие решения в условиях неопределенности имеет место, когда то или иное действие (или все действия) приводит к множеству возможных исходов, вероятности которых ЛПР неизвестны .

Нередко результат решения зависит от наступления определенных внешних ситуаций, которые не только не контролируются ЛПР, но и по которым у него отсутствует информация, при какой из этих ситуаций его решение должно быть эффективным. Особая трудность появляется, когда при конкретных внешних ситуациях каждый раз оптимальной была бы другая альтернатива. Выбор решения в таких условиях и называют принятием решения в условиях неопределенности.

Рассмотрим пример.

Таблица 21. Матрица решений

Левая половина — исходная матрица, правая — после исключения неэффективной альтернативы

Целью является увеличение прибыли фирмы либо за счет нового продукта (альтернатива А1), либо за счет завоевания нового рынка (А2), либо за счет кооперации с другими фирмами (А3), либо за счет увеличения активности на существующих рынках (А4). Все четыре альтернативы приводят к разным результатам в зависимости от возможной конъюнктуры и условий конкуренции (Р1, Р2, Р3) .

Для начала может быть выполнен предварительный отбор альтернатив на основе принципов принятия решений. В частности, альтернатива А4 может быть исключена, т.к. она не эффективна по сравнению с альтернативой А3 .

Для выбора альтернативы в условиях неопределенности разработан ряд стратегий:

• правило Вальда (максимин-правило) , иногда носит название минимакс-правило; его можно было бы назвать также правилом монашки: «береженого Бог бережет»;
• максимакс-правило , называемое иногда минимин-правилом; его можно характеризовать русской поговоркой «кто не рискует, тот не пьет шампанское»;
• правило Гурвича , называемое иногда правилом оптимизма- пессимизма; его можно характеризовать русской поговоркой «Бог не выдаст, свинья не съест»;
• правило Сэвиджа–Нигана , называемое иногда правилом минимакса сожаления;
• правило Лапласа ;
• правило Крелле .

Правило Вальда ориентируется на ЛПР, настроенное пессимистично и стремящееся минимизировать потери. Оно признает только минимальную прибыль, но не убытки и выбирает опцию, которая максимизирует минимальную прибыль.

Для каждой внешней ситуации фиксируется минимальное значение, а потом из этих худших значений выбирается максимальное (табл. 22).

Пример (продолжение)

Наиболее приемлемой альтернативой при этом подходе альтернатива А2.

Таблица 22. Правило Вальда

 Максимакс-правило ориентируется на предельно оптимистичное ЛПР, для которого определяющим является только результат, достигаемый в лучшем случае.

Пример (продолжение)

В нашем примере выбирается альтернатива А1 (табл. 23).

Таблица 23. Правило максимакса

 Правило Гурвича представляет собой компромисс между двумя рассмотренными стратегиями. При этом для каждой альтернативы учитываются два значения – максимальное и минимальное. Для этого вводится дополнительный параметр оптимизма-пессимизма α , который учитывает индивидуальный подход ЛПР к риску. У пессимиста α лежит в диапазоне от 0 до 0,5, у оптимиста – от 0,5 до 1.

Пример (продолжение)

Таблица 24. Правило Гурвича (правило оптимизма-пессимизма)

В стратегии Сэвиджа–Нигана ЛПР ориентируется не на абсолютный результат, а на минимизацию максимально плохого результата . Для этого вычисляется таблица «сожалений». В ней для каждого состояния внешней среды, по каждой альтернативе вычисляется убыток/ущерб, который получается при выборе данной альтернативы по сравнению с оптимальной альтернативой (табл. 25). Для каждой альтернативы отмечаем максимальный ущерб. Выбираем альтернативу с минимумом максимального ущерба.

Достоинство этого подхода заключается в том, что минимизируется максимально возможная ошибка. Это отражает позицию пессимистичного или по крайней мере осторожного ЛПР.

Пример (продолжение)

Таблица 25. Правило Сэвиджа-Нигано (правило минимального сожаления)

Правило Лапласа предполагает, что ЛПР имеет нейтральное отношение к риску. Оно позволяет выбрать альтернативу с максимальной суммарной пользой. Для этого каждому состоянию внешней среды приписывается равная вероятность (которая определяется как 1, деленная на число рассматриваемых состояний среды). Далее определяется сумма для каждой альтернативы.

Пример (продолжение)

Оптимальной для нашего примера оказывается альтернатива А2.

Таблица 26. Правило Лапласа

С помощью правила Крелле пытаются учесть индивидуальные предпочтения ЛПР в отношении риска. Для этого необходимо определить индивидуальную функцию предпочтений ЛПР, что представляет собой сложную задачу. Затем все значения для каждой альтернативы пересчитываются с помощью этой функции в цифры полезности в глазах ЛПР. Если бы удалось достаточно объективно определить эту функцию субъективных предпочтений ЛПР, правило Крелле могло бы быть весьма эффективным. Но поскольку возможность ее надежного определения остается спорной, правило Крелле практически не применяется.

В табл. 27 для приведенного примера сопоставлены результаты выбора альтернатив с помощью рассмотренных критериев. На первый взгляд кажется нелепым, что наилучшая альтернатива зависит от метода ее определения. На самом деле здесь нет противоречия, поскольку метод выбора учитывает индивидуальные предпочтения ЛПР .

Пример (продолжение)

Таблица 27. Сопоставление решений, полученных с использованием различных правил

Для каждого из описанных ниже критериев будем предполагать, что необходимо выбрать одно из действий при выборе "природой" одного из состояний , в результате чего достигается выигрыш

Критерий Вальда или максиминный критерий . В соответствии с этим критерием каждое действие оценивается по наихудшему для него состоянию, и оптимальным является действие, приводящее к наилучшему из наихудших состояний, то есть действие , для которого достигается

,

Можно установить, что согласно максиминному критерию складывающаяся ситуация рассматривается как матричная игра и максиминная стратегия представляет собой наилучший выбор против минимаксной стратегии "природы", то есть против наименее благоприятного априорного распределения вероятностей состояний "природы". С этой точки зрения максиминный критерий является чрезвычайно консервативным, так как "природа" не представляет собой сколько-нибудь разумного игрока. Однако применение этого критерия может быть целесообразным, если по условиям обстановки подобный консерватизм имеет смысл.

Критерий минимаксного риска

Минимаксный критерий (критерий потерь или минимаксного риска ). В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие, для которого величина потерь (риска) принимает наименьшее значение при самой неблагоприятной обстановке, то есть действие , для которого достигается

,

где определяется как величина, которую нужно прибавить к , чтобы получить максимальный выигрыш, состоящий в -м столбце.

Для определения оптимального действия согласно минимаксному критерию на основании первоначальной матрицы выигрышей составляется вторая матрица , показывающая потери от ошибок ( матрица потерь). Покажем составление матрицы потерь на конкретном примере.

Пусть матрица выигрышей задана таблицей на рисунке 12.a . Из рисунка 12.a видно, что если применяется действие , а состояние "природы" , то по отношению к действию достигается наибольший выигрыш, равный 98 единицам, и, следовательно, игрок не несет никаких потерь. Поэтому показатель потерь на пересечении строки и столбца равен нулю. Этот показатель и записывается как элемент матрицы потерь. (См. рисунок 12.b) Если же игрок применяет действие против стратегии , то он получает только две единицы, тогда как максимально возможный выигрыш равен 98. Следовательно, показатель потерь в этом случае будет равен ; он записывается в таблицу на рисунке 12.b на пересечении строки и столбца Остальные элементы матрицы потерь находятся аналогичным образом.

Критерий Гурвица

Критерий пессимизма-оптимизма . В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие , для которого достигается

где

Из приведенного условия видно, что критерий Гурвица является взвешенной средней из наименьших и наибольших выигрышей для принятого коэффициента В частности, при критерий Гурвица соответствует критерию Вальда. Заметим, что минимальный критерий учитывает только наибольший выигрыш, получаемый в результате применения любой стратегии, и безразличен к любым другим вариантам.

Критерий Лапласа

В соответствии с этим критерием оптимальным считается действие, которому соответствует

Следовательно, критерий Байеса (Лапласа) исходит из того, что раз совершенно неизвестно, какое из состояний имеет место , то нужно поступить так, как будто они равновероятны.

Последовательный анализ

Для построения математических (описательных и нормативных) моделей , как правило, бывает необходимо предварительно определить характеристики тех или иных случайных величин или вероятностей элементарных событий . Обычным путем определения подобных величин является обработка результатов наблюдений и измерений. Обработка таких результатов осуществляется методами математической статистики.

Особое значение для применения методов математической статистики имеет вопрос о числе наблюдений, полученных для оценки того или иного параметра. Классические методы статистики исходят из наличия, в крайнем случае, достаточного числа наблюдений. Однако в силу целого ряда причин не всегда возможно набрать необходимое число наблюдений. Достаточно указать, что увеличение числа наблюдений, как правило, ведет к увеличению затрат материальных средств и времени на проведение соответствующих испытаний. В подобных случаях число наблюдений целесообразно заранее не определять, а решение об окончании эксперимента принимать последовательно на каждом его этапе в зависимости от результатов предыдущих наблюдений, - иными словами, каждый последующий

Выбор наилучшего решения в условиях неопределенности существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности, т.е. от того, какой информацией располагает ЛПР.

Предположения субъективны, поэтому и степени неопределенности со стороны ЛПР должны различаться. Практикуются два основных подхода к принятию решения в условиях неопределенности. Лицо, принимающее решение, может использовать имеющуюся у него информацию и свои собственные личные суждения, а также опыт для идентификации и определения субъективных вероятностей возможных внешних условий, оценки возможных последствий альтернатив в различных условиях внешней среды. Это, в сущности, делает условия неопределенности аналогичными условиям риска, а процедура принятия решения, обсуждавшаяся ранее для условий риска, выполняется и в этом случае.

Если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР предпочитает не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. это лицо может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, что практически одно и то же. Если применяется данный подход, то для оценки предполагаемых стратегий имеются четыре критерия решения:

• 1) критерий решения Вальда, называемый также максимином;
• 2) альфа-критерий решения Гурвица;
• 3) критерий решений Сэвиджа, называемый также критерием отказа от минимакса;
• 4) критерий решений Лапласа, называемый также критерием решения Бэйеса.

Пожалуй, наиболее трудная задача для ЛПР заключается в выборе конкретного критерия, наиболее подходящего для решения предложенной задачи. Выбор критерия должен быть логичным при данных обстоятельствах. Кроме того, при выборе критерия должны учитываться философия, темперамент и взгляды нынешнего руководства фирмы (оптимистические или пессимистические, консервативные или прогрессивные).

Рассмотрим эти утверждения на конкретном примере. Элементами модели выбора альтернатив в условиях неопределенности являются матрица принятия решений |А i, Sj| и целевая функция Е {A i, w (S j)} (рис. 6.9).

Рис. 6.9.

А i, – альтернативы действий; Sj – состояние внешней среды; w (S j) – вероятности наступления состояния S j, причем Σmj= 1w(S j) = 1; e ij – результат, который будет достигнут, если выбрана альтернатива А i и наступит состояние внешней среды S j

В качестве иллюстрационного примера возьмем матрицу решений (рис. 6.10), включающую в себя пять альтернатив (A i; i = 1, ..., 5) и четыре состояния внешней среды (S j; j = 1,4). Последствия принимаемых решений приведены на пересечении строк и столбцов (e ij).

Рис. 6.10.

В условиях определенности, т.е. когда принятие решений происходит после наступления событий во внешней среде (апостериори), должно приниматься решение, максимизирующее целевую функцию (рис. 6.11). Так, при наступлении события S 1 необходимо принимать альтернативу A2, при S2 → A4, при S3 → A5, при S4 → A1.

Рис. 6.11.

В условиях риска необходимо принимать решение (выбирать альтернативу Ai) до наступления события Sj во внешней среде (априори), что требует учета вероятности w (Sj) наступления этого события. Это можно сделать путем умножения вероятности наступления этого события w (S j) на результат e ij, получаемый от принятия того или иного решения, и выбрать наибольшее значение Ai (рис. 6.12).

Рис. 6.12.

В случае если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР может присваивать значениям вероятности свои субъективные значения, сводя задачу к принятию решений в условиях риска, либо не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, применяя различные критерии для выбора.

Критерий решения Вальда

Критерием Вальда "рассчитывай на худшее" (критерий крайнего пессимизма, или максимин) называют критерий, предписывающий обеспечить значение параметра эффекта, равного а:

Этот критерий ориентирует ЛПР на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

В рассматриваемом случае (рис. 6.13) в соответствии с критерием "крайнего пессимизма" наилучшей альтернативой будет A1.

Другим предельным случаем критерия Вальда является критерий "необузданного оптимизма", или максимакс:

В соответствии с этим критерием необходимо выбрать альтернативу А 2.

Рис. 6.13.

Альфа-критерий решения Гурвица

Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться крайним пессимизмом (всегда "рассчитывай на худшее", α = 0) или крайним оптимизмом ("все будет наилучшим образом", а = 1). Рекомендуется некое среднее решение (0 ≤ α ≤ 1). Этот критерий имеет следующий вид:

где α – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1.

Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.

В рассматриваемом примере (рис. 6.14) для случая а = 0,7 предпочтительной альтернативой становится А3.

Рис. 6.14.

Здесь приняты следующие обозначения:

Критерий решения Сэвиджа

В соответствии с этим минимаксным критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным.

При использовании критерия Сэвиджа обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска:

где риск r ij определяется выражением r ij = β – e ij, β – максимально возможный выигрыш.

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, – это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Для рассматриваемого примера результаты выбора альтернативы приведены на рис. 6.15.

Рис. 6.15.

В рассматриваемом примере альтернатива А 4 минимизирует максимальное "наказание" за неверно определенное состояние внешней среды.

Критерий решения Лапласа

Критерий Лапласа, или байесов критерий, гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет сводить условие неопределенности к условиям риска. Критерий Лапласа называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все названные выше критерии.

В рассматриваемом примере наилучшей альтернативой по критерию Лапласа (рис. 6.16) является А 5.

Рис. 6.16.

Кроме названных выше четырех критериев для принятия решений в условиях неопределенности существуют неколичественные методы, такие как приобретение дополнительной информации, хеджирование, гибкое инвестирование и др.

Краткая теория

Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под природой будем понимать совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.

Управление любым объектом осуществляется путем принятия последовательности управленческих решений. Для принятия решения необходима информация (совокупность сведений о состоянии объекта управления и условиях его работы). В тех случаях когда отсутствует достаточно полная информация, возникает неопределенность в принятии решения. Причины этого могут быть различны: требующаяся для полного обоснования решения информация принципиально не может быть получена (неустранимая неопределенность); информация не может быть получена своевременно, к моменту принятия решения; затраты, связанные с получением информации, слишком высоки. По мере совершенствования средств сбора, передачи и обработки информации неопределенность управленческих решении будет уменьшаться. К этому нужно стремиться. Существование неустранимой неопределенности связано со случайным характером многих явлений. Например, в торговле, случайный характер изменения спроса делает невозможным его точное прогнозирование, a, следовательно, и формирование идеально точного заказа на поставку товара. Принятие решения в этом случае связано с риском. Приемка партии товара на основании выборочного контроля также связана с риском принятия решения в условиях неопределенности. Неопределенность может быть снята путем полного контроля всей партии, однако это может оказаться слишком дорогостоящим мероприятием. В сельском хозяйстве, например, с целью получения урожая человек предпринимает ряд действии (пашет землю, вносит удобрения, борется с сорняками и т. п.). Окончательный результат (урожай) зависит от действий не только человека, но и природы (дождь, засуха, вечер и т. п.). Из приведенных примеров видно, что полностью исключить неопределенность в управлении экономической системой нельзя, хотя, повторим, к этому нужно стремиться. В каждом конкретном случае следует принимать во внимание степень риска при принятии управленческих решений, по возможности максимально учитывать имеющуюся информацию с целью уменьшения неблагоприятных последствий, которые могут возникнуть из-за ошибочных решений.

Две стороны, участвующие в игре, будем называть игрок I и игрок II. Каждый из игроков располагает конечным набором действий (чистых стратегий), которые он может применять в процессе игры. Игра имеет повторяющийся, циклический характер. о каждом цикле игроки выбирают одну из своих стратегии, что однозначно определяет платеж . Интересы игроков противоположны. Игрок I старается вести игру так, чтобы платежи были как можно большими. Для игрока II желательны как можно меньшие значения платежей (с учетом знака). Причем в каждом цикле выигрыш одного из игроков в точности совпадает с проигрышем другого. Игры такого типа называются играми с нулевой суммой.

Решить игру - значит определить оптимальное поведение игроков. Решение игр является предметом теории игр. Оптимальное поведение игрока инвариантно относительно изменения всех элементов платежной матрицы на некоторую величину.

В общем случае определение оптимального поведения игроков связано с решением двойственной пары задач линейного программирования. В отдельных случаях могут быть использованы более простые методы. Часто платежную матрицу удается упростить путем удаления из нее строк и столбцов, соответствующих доминируемым стратегиям игроков, доминируемой называется стратегия, все платежи которой не лучше соответствующих платежей некоторой другой стратегии и хотя бы один из платежей хуже соответствующего платежа этой другой стратегии, называемой доминирующей.

В обычной стратегической игре принимают участие «разумные и антагонистические» противники (противоборствующие стороны). В таких играх каждая из сторон предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ей и менее выгодны противнику. Однако очень часто неопределенность, сопровождающая некоторую операцию, не связана с сознательным противодействием противника, а зависит от некой, не известной игроку I объективной действительности (природы). Такого рода ситуации принято называть играми с природой. Игрок II - природа - в теории статистических игр не является разумным игроком, так как рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния природы (ее стратегии) реализуются случайным образом. В исследовании операций оперирующую сторону (игрока I) часто называют статистиком, а сами операции - играми статистика с природой или статистическими играми.

Рассмотрим игровую постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности. Пусть оперирующей стороне необходимо выполнить операцию в недостаточно известной обстановке относительно состояний которой можно сделать предположений. Эти предположения будем рассматривать как стратегии природы. Оперирующая сторона в своем распоряжении имеет возможных стратегий - . Выигрыши игрока I при каждой паре стратегий и - предполагаются известными и заданы платежной матрицей .

Задача заключается в определении такой стратегии (чистой или смешанной), которая лри ее применении обеспечила бы оперирующей стороне наибольший выигрыш.

Выше уже говорилось, что хозяйственная деятельность человека может рассматриваться как игра с природой. Основной особенностью природы как игрока является ее не заинтересованность в выигрыше.

Анализ матрицы выигрышей игры с природой начинается с выявления и отбрасывания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий лица, играющего с природой. Что касается стратегий природы, то ни одну из них отбросить нельзя, так как каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий игрока I. Ввиду того что природа не противодействует игроку I, может показаться, что игра с природой проще стратегической игры. На самом деле это не так. Противоположность интересов игроков в стратегической игре в некотором смысле как бы снимает неопределенность, чего нельзя сказать о статистической игре. Оперирующей стороне в игре с природой легче в том отношении, что она скорее.всего выиграет больше, чем в игре против сознательного противника. Однако ей труднее принять обоснованное решение, так как в игре с природой неопределенность ситуации сказывается в гораздо более сильной степени.

После упрощения платежной матрицы игры с природой целесообразно не только оценить выигрыш при той или иной игровой ситуации, но и определить разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы и выигрышем, который будет получен при применении стратегии в тех же условиях. Эта разность в теории игр называется риском.

Природа меняет состояние стихийно, совершенно не заботясь о результате игры. В антагонистической игре мы предполагали, что игроки пользуются оптимальными (в определенном выше смысле) смешанными стратегиями. Можно предположить, что природа применяет наверняка не оптимальную стратегию. Тогда какую? Если бы существовал ответ на этот вопрос, то принятие решения лицом, принимающим решения (ЛПР) сводилось бы к детерминированной задаче.

Если вероятности состояний природы известны, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш:

Критерий Байеса предполагает, что нам хотя и неизвестны условиях выполнения операций (состояния природы) , но известны их вероятности .

С помощью такого приема задача о выборе решения в условиях неопределенности превращается в задачу о выборе решения в условиях определенности, только принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Если игроку представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы, то иногда полагают и, учитывая, «принцип недостаточного основания» Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию , обеспечивающую:

Если же смешанная стратегия природы неизвестна, то в зависимости от гипотезы о поведении природы можно предложить ряд подходов для обоснования выбора решения ЛПР. Свою оценку характера поведения природы будем характеризовать числом , которое можно связывать со степенью активного «противодействия» природы как игрока Значение соответствует наиболее пессимистичному отношению ЛПР в смысле «содействия» природы в достижении им наилучших хозяйственных результатов. Значение соответствует наибольшему оптимизму ЛПР. Как известно, в хозяйственной деятельности указанные крайности опасны. Скорее всего, целесообразно исходить из некоторого промежуточного значения . В этом случае используется критерий Гурвица, согласно которому наилучшим решением ЛПР является чистая стратегия , соответствующая условию:

Критерий Гурвица (критерий «оптимизма-пессимизма») позволяет руководствоваться при выборе рискового решения в условиях неопределенности некоторым средним результатом эффективности, находящимся в поле между значениями по критериям «максимакса» и «максимина» (поле между этими значениями связано посредством выпуклой линейной функции).

В случае крайнего пессимизма ЛПР указанный критерий называется критерием Вальда. Согласно этому критерию, наилучшей считается максиминная стратегия. Это критерий крайнего пессимизма. По этому критерию ЛПР выбирает ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:

Такой выбор соответствует наиболее робкому поведению ЛПР, когда он предполагает наиболее, неблагоприятное поведение природы, боится больших потерь. Можно предположить, что он не получит больших выигрышей. Согласно критерию Сэвиджа, следует выбирать чистую стратегию соответствующую условию:

где риск .

Критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. При использовании этого критерия «матрица решения» преобразуется в «матрицу риска», в которой вместо значений эффективности проставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий.

Недостатком критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица является субъективная оценка поведения природы. Хотя указанные критерии и дают некоторую логическую схему принятия решений, резонно все же задать вопрос: «А почему сразу не выбрать субъективное решение, вместо того чтобы иметь дело с разными критериями?» Несомненно, определение решения по различным критериям помогает ЛПР оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.

Пример решения задачи

Условие задачи

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1. требуется профилактический ремонт;
2. требуется замена отдельных деталей и узлов;
3. требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

Требуется найти оптимальное решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

Решение задачи

Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по методам оптимальных решений с контрольными или экзаменами.

Игра парная, статистическая. В игре участвуют 2 игрока: руководство предприятия и природа.

Под природой в данном случае понимаем совокупность внешних факторов, которые определяют состояние оборудования.

Стратегия руководства:

Отремонтировать оборудование своими силами

Вызвать бригаду специалистов

Заменить оборудование новым

Стратегия природы - 3 возможных состояния оборудования.

Требуется профилактический ремонт;

Следует заменить отдельные детали и узлы;

Требуется капитальный ремонт.

Расчет платежной матрицы и матрицы рисков

Поскольку элементы матрицы - затраты, то будем считать их выигрышными но со знаком минус. Платежная матрица:

Составляем матрицу рисков:

Критерий Байеса

Определяем средние выигрыши:

По критерию Байеса оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Критерий Лапласа

Определим средние выигрыши:

По критерию Лапласа оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Критерий Вальда

По критерию Вальда оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Критерий Сэвиджа

По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия - заменить оборудование новым

Критерий Гурвица

По критерию Гурвица оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов

Ответ

По всем критериям, за исключением критерия Сэвиджа, оптимальной является стратегия «Вызвать бригаду специалистов». По критерию Сэвиджа, который минимизирует риски, оптимальной является стратегия «Заменить оборудование новым».

Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Приведены необходимые теоретические сведения и образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью", подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием обслуживания - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки, длина очереди, вероятность образования очереди, вероятность свободного состояния системы, среднее время ожидания в очереди.

Критический путь, критическое время и другие параметры сетевого графика работ
На примере решения задачи рассмотрены вопросы построения сетевого графика работ, нахождение критического пути и критического времени. Также показано вычисление параметров и резервов событий и работ - ранних и поздних сроков, общих (полных) и частных резервов.

Критерии основаны на анализе матрицы возможных состояний окружающей среды и альтернатив решений.

Матрица, приведенная в таблице 1, содержит: Аj - альтернативы, т.е. варианты действий, один из которых необходимо выбрать; Si - возможные варианты состояний окружающей среды; aij - элемент матрицы, обозначающий значение стоимости капитала, принимаемое альтернативой j при состоянии окружающей среды i.

Таблица 1 - Матрица решений

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределённости используются различные правила и критерии, приведенные ниже.

Правило максимин (критерий Ваальда). В соответствии с этим правилом из альтернатив aj выбирают ту, которая при самом неблагоприятном состоянии внешней среды, имеет наибольшее значение показателя. С этой целью в каждой строчке матрицы фиксируют альтернативы с минимальным значением показателя и из отмеченных минимальных выбирают максимальное. Альтернативе а* с максимальным значением из всех минимальных даётся приоритет.

Принимающий решение в этом случае минимально готов к риску, предполагая максимум негативного развития состояния внешней среды и учитывая наименее благоприятное развитие для каждой альтернативы.

По критерию Ваальда лица, принимающие решения, выбирают стратегию, гарантирующую максимальное значение наихудшего выигрыша (критерия максимина).

Правило максимакс. В соответствии с этим правилом выбирается альтернатива с наивысшим достижимым значением оцениваемого показателя. При этом лицо, принимающее решение (ЛПР) не учитывает риска от неблагоприятного изменения окружающей среды. Альтернатива находится по формуле:

(а* = {аjmaxj maxi Пij}) (1)

Используя это правило, определяют максимальное значение для каждой строки и выбирают наибольшее из них.

Большой недостаток правил максимакса и максимина - использование только одного варианта развития ситуации для каждой альтернативы при принятии решения.

Правило минимакс (критерий Севиджа). В отличие от максимина, минимакс ориентирован на минимизацию не столько потерь, сколько сожалений по поводу упущенной прибыли. Правило допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Критерий Севиджа рассчитывается по формуле:

(min max П = mini ) (2),

где mini, maxj - поиск максимума перебором соответствующих столбцов и строк.

Расчёт минимакса состоит их четырёх этапов:

• 1. Находится лучший результат каждой графы в отдельности, то есть максимум Xij (реакции рынка).
• 2. Определяется отклонение от лучшего результата каждой отдельной графы, то есть maxi Xij - Xij. Полученные результаты образуют матрицу отклонений (сожалений), так как её элементы - это недополученная прибыль от неудачно принятых решений, допущенных из-за ошибочной оценки возможности реакции рынка.
• 3. Для каждой сточки сожалений находим максимальное значение.
• 4. Выбираем решение, при котором максимальное сожаление будет меньше других.
• 20. Критерии Лапласа и Гурвица при принятии решения в условиях неопределенности

Правило Гурвица. В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это правило называют ещё правилом оптимизма - пессимизма. Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:

(а* = maxi [(1-?) minj Пji+ ? maxj Пji]) (3),

где? - коэффициент оптимизма, ? =1…0 при? =1 альтернатива выбирается по правилу максимакс, при? =0 - по правилу максимин. Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать? =0,3. Наибольшее значение целевой величины и определяет необходимую альтернативу.

Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.

Таким образом, при принятии управленческого решения в общем случае необходимо:

• · спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;
• · разработать список возможных альтернатив
• · оценить окупаемость всех альтернатив;
• · определить вероятность каждого условия;
• · оценить альтернативы по выбранному критерию решения.

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени;

принятое решение теоретически допускает бесконечно большое

количество реализаций;

допускается некоторый риск при малых числах реализаций.