Слайд 6

Решение.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство). Числа Fn , образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... называются " числами Фибоначчи",а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Слайд 7

Связь между последовательностью Фибоначчи и «Золотым сечением»

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (напpимеp, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... и через pаз то превосходящая, то не достигающая его. Hо даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. Kpаткости ради, мы будем приводить его в виде 1.618.

Слайд 8

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его современных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое среднее и отношение вертящихся квадpатов.Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокровищ геометрии". В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой «фи»: φ=1.618

Слайд 9

Так что же такое « Золотое сечение»?

Слайд 10

«Золотое сечение»

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление),деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относиться к меньшей ВС, так как весь отрезок АС относиться к АВ (т.е. АВ:ВС= АС:АВ). Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи, а в научный обиход это понятие ввел Пифагор. А С

Слайд 11

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Слайд 12

Геометрическое изображение золотойпропорции.

a: b = b: c или с: b = b: а.

Слайд 14

Звездчатый пятиугольник.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

Слайд 15

История « Золотого сечения».

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Пифагор

Слайд 16

Античный циркуль « Золотого сечения»

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Слайд 17

Изучение « Золотого сечения» Леонардо да Винчи

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Слайд 18

Работа Цейзинга

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Слайд 19

Золотые пропорции в фигуре человека.

Слайд 20

« Золотое сечение в природе»

Слайд 21

Раковина.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.

Слайд 22

Цикорий(растение).

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Слайд 23

Ящерица.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Слайд 24

Яйцо птицы.

Аналогичный пример с ящерицей. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Слайд 25

Архитектурные загадки

Слайд 26

Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Площадь треугольника 356 x 440 / 2 = 78320 Площадь квадрата 280 x 280 = 78400

Слайд 27

Вывод.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет важную роль.

Слайд 28

«Золотое сечение» в искусстве.

Слайд 29

Фильм по правилам « Золотого сечения»

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Так, известно, что С. Эйзенштейнискусственно построил фильм Броненосец Потёмкинпо правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

Слайд 30

В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный

Слайд 31

Золотое сечение и зрительные центры.

Другим примером использования правила «Золотого сечения» в киноискусстве - расположение основных компонентов кадра в особых точках - «зрительных центрах». Часто используются четыре точки, расположенные на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краёв плоскости.

Слайд 32

Найдите примеры «золотого сечения» вокруг себя, в природе, архитектуре, живописи.

Посмотреть все слайды

УРОК МАТЕМАТИКИ 6 класс

09.04.2014

Что такое гармония?

ЕДИНСТВО

порядок

ГАРМОНИЯ

ГАРМОНИЯ

красота

красота

математика

Тема урока:

Золотое сечение

Цели:

1. Познакомиться с понятием «золотое сечение».

2. Узнать, где оно применяется.

3. Научиться использовать его в практической деятельности.

Золотым сечением называют деление отрезка, при котором длина его большей части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей.

АВ: АС = ВС: АВ

Это отношение приближённо равно 0,618 или.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ

Парфенон

Парфенон – один из самых величественных храмов

Древней Греции.

Отношение высоты здания к его длине равно 0,6!

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

рисунок Леонардо Да Винчи

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

схема к иконе А. Рублева "Троица"

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

статуя Аполлона Бельведерского

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

Справа – освещенный солнцем пригорок также делит картину по горизонтали по золотому сечению.

Мотивы золотого сечения просматриваются в картинах И.И. Шишкина.

Ярко освещенная

солнцем сосна

делит картину по

золотому сечению.

Убедитесь в этом

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Практическая работа

• Измерьте отрезки АВ и АС
• Вычислите АС:АВ
• Измерьте отрезок СВ
• Вычислите СВ:АС

АС:АВ≈0,6

СВ:АС≈0,6

АС:АВ=СВ:АС

Посмотрите вокруг и вы увидите множество примеров, подтверждающих это утверждение

РЕФЛЕКСИЯ:

Сегодня я узнал…..

Было интересно…..

Было трудно…

Теперь я могу……

Я научился……

У меня получилось…..

Урок дал мне для жизни….

Мне захотелось….

Я понял, что…..

1. 1. Выполнил: ученик 11А класса МБОУ СОШ №23 г. Димитровграда Арутюнян АртурНаучный руководитель: учитель математики высшей категории Авакян Лена Рубеновна
2. 2. Цели и задачи проекта: Углубление знаний учащихся по теме "Отношения и пропорции". Расширение понятия математических закономерностей в мире. Повышение интереса учащихся к математике, определение значения математики в мировой культуре. Дополнение системы знаний учащихся представлениями о «Золотом Сечении» как гармонии окружающего мира. Выявление связи математики с другими предметами: литературой, информатикой, естествознанием, искусством.
3. 3. АННОТАЦИЯ:Материал проекта может использоваться на уроках математики,геометрии, истории и изобразительного искусства, во внекласснойдеятельности информация будет интересна и полезна при проведениипредметных вечеров и интеллектуальных конкурсов.В данной работе рассматриваются теоретические основы понятий:пропорция, золотое сечение, золотой треугольник, золотойпрямоугольник.Представляет интерес историческая информация о развитии золотогосечения.Подробно излагается материал о золотом сечении в живописи:предлагаются разделы, посвящѐнные Леонардо да Винчи, И.И. Шишкинуи описанию их картин; убедительно доказывается наличие золотогосечения в картинах Леонардо да Винчи «Джоконда», «Тайная вечеря» иИ.И. Шишкина «Корабельная роща».В презентации представлен лаконично изложенный,проиллюстрированный материал, интересный для чтения и изучения.
4. 4. ВВЕДЕНИЕ С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.
5. 5. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Целая часть относится к большей, как большая к меньшей. 1-ХЕсли высоту человека принять за 1, то получим пропорцию 1:Х=Х:(1-Х). Решив это уравнение, Х получим иррациональное число 0,618… (1, 618)Это число Ф (фи) – названо в честь древнегреческого скульптора Фидия, рассчитавшего пропорции храма Парфенон.
6. 6. ЗОЛОТОЕСЕЧЕНИЕДеление отрезка по золотому сечению с помощью циркуля и линейки.Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точкаС соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезокВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотойпропорции.Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробьюAE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целейчасто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принятьза 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1 = 0.Решение этого уравнения:Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореолтаинственности и чуть ли не мистического поклонения.
7. 7. ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК Стороны Золотого прямоугольника находятся в пропорции 1.618 к 1. Чтобы построить Золотой прямоугольник, начните с квадрата со сторонами в 2 единицы и проведите линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны.
8. 8. Треугольник EDBпрямоугольный.Пифагор, около 550 г.до н.э., доказал, чтоквадрат гипотенузыпрямоугольноготреугольника равенсумме квадратов егокатетов. В этомслучае:
9. 9. СВЯЗЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИС историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монахаЛеонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он многопутешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 гвышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собранывсе известные на то время задачи.Последовательностью (рядом) Фибоначчи называется последовательность, первые два членакоторой равны 1, а каждый последующий – сумме двух предыдущих(2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13,8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34). Таким образом, эта последовательность (обозначим ее через {u }, n)определяется следующим образом:u =1, u =1, u =u +u , n .Вот первые числа этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, …Связь с золотым сечением здесь состоит в том, что отношение смежных чисел ряда приближается котношению золотого деления(21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618).Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какогонаименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальнойявляется такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, чтовсе исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже обискусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотогоделения.
10. 10. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕПропорции Покровского Собора на Красной площади в Москвеопределяются восемью членами ряда золотого сечения:Многие члены ряда золотого сечения повторяются в затейливыхэлементах храма многократно d d 2 1; d 2 d 3 d ; d 3 d 4 2 d ; и т.д.
11. 11. ПАРФЕНОН – ГЛАВНЫЙ ХРАМ АФИНСКОГО АКРОПОЛЯ.В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуютзолотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули,которыми пользовались архитекторы и скульпторы античногомира.
12. 12. На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных сзолотым сечением. Пропорции здания можно выразить черезразличные степени числа Ф 0,618... =
13. 13. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ТЕЛЕ ЧЕЛОВЕКА Для выявления золотых пропорций в теле человекапрофессор Цейзинг проделал колоссальную работу. Онизмерил около двух тысяч человеческих тел и пришел квыводу, что золотое сечение выражает среднийстатистический закон. Деление тела точкой пупа –важнейший показатель золотого сечения. Пропорциимужского тела колеблются в пределах среднего отношения13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотомусечению, чем пропорции женского тела, в отношениикоторого среднее значение пропорции выражается всоотношении 8: 5 = 1,6.
14. 14. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ ИФОТОГРАФИИ Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Зрительные центры также используются в фотографии и web-дизайне.
15. 15. Портрет Монны Лизы (Джоконды)долгие годы привлекает вниманиеисследователей, которые обнаружили,что композиция рисунка основана назолотых треугольниках, являющихсячастями правильного звездчатогопятиугольника.
16. 16. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПРИРОДЕ Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
17. 17. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глазапропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробиваетсяформообразующая тенденция природы – симметрия относительнонаправления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется впропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
18. 18. Природа осуществила деление насимметричные части и золотые пропорции.В частях проявляется повторение строенияцелого.
19. 19. Заключение “Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого невозможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.
20. ВЫВОД: Золотое сечение очень интересное и глубокое понятие, вкладывающее в себе основы симметрии и ассиметрии. С помощью «золотого сечения» можно проделывать интереснейшие опыты в любых условиях (находить отношение Ф в лицах людей, в фасадах зданий). И по моему мнению понятие «золотое сечение» должен знать любой человек интересующийся математикой, архитектурой, живописью.
21. 21. Литература Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении – София, 1983. Стахов А. Коды золотой пропорции. А. Д. Бердукидзе. Золотое сечение-