Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.
Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.
Пример одночлена в стандартном виде:
здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.
Ещё пример одночлена в стандартном виде:
каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.
Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.
Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.
Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.
Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.
Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.
Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .
Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.
Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.
Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.
Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.
Ещё примеры сложения одночленов:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.
Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.
Ещё примеры вычитания одночленов:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:
т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.
Ещё пример:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:
A 2 * a 5 = a 7 .
Это же относится и к сомножителю «b».
Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.
Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .
Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.
Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.
Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?
Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.
Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.
Пример.
Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.
Решение.
Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .
Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .
Ответ:
3·x·2·x 2 =6·x 3 .
Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.
Для закрепления материала решим еще один пример.
Пример.
Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.
Решение.
Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .
I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.
Примеры одночленов:
а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; е) -123,45xy 5 z; ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.
Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г) и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены д) и ж) к стандартному виду.
д) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 =2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 =-85,75a 2 b 3 ;
ж) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3) =-8∙2,5∙3a 3 c 3 =-60a 3 c 3 .
III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.
Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?
а) a. Первую;
б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2 ;
в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;
г) -3c. Первую;
д) -85,75a 2 b 3 . Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5 ;
е) -123,45xy 5 z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7 ;
ж) -60a 3 c 3 . Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6 .
IV. Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.
Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.
Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 y.
Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. 1) и 3) ; 2) и 4) ; 5) и 6).
1) 3a 2 b 2 c и 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4,1a 3 bc и 4) 98,7a 3 bc;
5) 10a 4 x и 6) -2,3a 4 x.