Мы расскажем вам о волатильности, улыбке рынка, которая может растянуться на всю ширину и принести доход, или превратиться в ужасную гримасу и тогда ничего, кроме убытка не получится.

Считают показатель тенденции финансового инструмента изменять свою котировку во времени. Если говорить иначе, это диапазон от минимума к максимуму за некоторый промежуток времени. А если говорить словами детей, то это «улыбка» . Чем шире эта «улыбка», тем более рисковым является инструмент, и тем .

Улыбка волатильности на форекс — как ключевой индикатор риска

Все финансовые инструменты наделены своей собственной уникальной волатильностью. Обратите внимания можно измерить не только суточную волатильность, но и внутриторговосессионную.

Например, европейская или лондонская сессия является самой крупной на рынке Форекс, она обладает самой широкой волатильностью. Тут проводится самое большое число трансакций. До 30% от всего объема сделок за сутки. Сессия открывается по Гринвичу в 6 утра, в летнее время, закрывается в 14:00 в зимний период на час позже (читай — ). Во время сессии, среднее по всем основным парам составляет 80 пунктов. Суточная волатильность торговой пары ФунтФранк и ФунтЙена примерно 140 пипсов.

Самые торгуемые пары в лондонскую сессию ДолларФранк, ФунтДоллар, ДолларКанадскийДоллар, ЕвроДоллар. Рассчитав волатильность по этим торговым парам можно точно установить уровень риска для ордеров стоп-лосс и .

Интересный факт говорит нам о том, что когда лондонская сессия закрывается, многие крупные инвесторы берут и переводят свои деньги в Америку из Европы. Это связано с началом нью-йоркской сессии. Она вторая по объему продаж на рынке валютных операций Форекс. Это знание помогает при разработке системы для торговли. В нью-йоркскую торговую сессию самыми популярными считаются пары ФунтФранк, ФунтЙена, а также те же, что в лондонскую сессию.

Среднесуточный диапазон тут может составить 120 пипсов. Нью-йоркская сессия летом обслуживает клиентов с 12 до 20 по Гринвичу. Максимальная волатильность за торговые сутки будет наблюдаться в интервале с 12:00 до 14:00, когда европейская и американская сессии работают одновременно.

Токийская сессия работает с 0:00 до 8:00 по Гринвичу. Тут наиболее интересно торговать ФунтомФранком, и ФунтомЙеной. Среднесуточный диапазон равен примерно 100 пипсам.

Если вам удалось выявить различия торговых сессий, то у вас в руках система знаний , которая может стать прибыльной торговой системой для внутривременных зон. Такая система учтет продолжение тенденций или отката от ценовых уровней.

Учёт волатильности в каждой из временных зон позволит создать доходную торговую систему.

А вот как о волатильности говорят в последних новостях.

На всех рынках в ближайшие дни будет наблюдаться влияние , которые объединяют ключевые показатели.

Это ВВП США за III квартал и данные об уровне безработицы в сентябре. Также рынок продолжит находиться в ожидании комментариев главы ФРС об итогах последнего заседания, которое прошло 29-30 сентября, а также результатов прошедшего в конце недели заседания ЕЦБ. Может быть снижена ставка на фоне слабой статистики. Все эти ожидания поспособствуют высокой волатильности на рынке.

Улыбка волатильности — это аномальный паттерн на опционов. Для конкретной экспирации, опционы, чьи страйки сильно отличаются от текущей цены базового актива (то есть опционы глубоко-вне-денег и опционы глубоко-в-деньгах), показывают более высокие цены (и, следовательно, более высокую вмененную волатильность), чем этого требует стандартная модель оценки опционов.

График зависимости вмененной волатильности от цены страйка для конкретной экспирации дает сдвинутую “улыбку” вместо ожидаемой плоской поверхности. Паттерн различается по рынкам. Опционы на акции, торгуемые на американских рынках, не показывали улыбки волатильности до краха 1987 года, но стали показывать ее после. Считается, что переоценка инвесторами вероятности событий “черного лебедя” привела к более высоким ценам для опционов вне денег. Эта аномалия указывает на неэффективность стандартной модели оценки опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes), которая считает константой, а изменения цен базового актива логнормальными. Эмпирические распределения ценовых изменений, однако, склонны показывать “ ” (эксцесс) и ассимметрию. Моделирование улыбки волатильность — активная область исследований в количественных финансах, так же, как и поиски лучшей модели оценки цен опционов, например, через модели стохастической волатильности.

Вмененная волатильность и улыбка волатильности

В модели Блэка-Шоулза теоретическая стоимость простого опциона — монотонно возрастающая функция волатильности базового актива. Следовательно, за исключением случая американских опционов с дивидендами, чье раннее исполнение может быть оптимальным, цена это строго возрастающая функция волатильности. Это значит, что обычно возможно вычислить уникальную вмененную волатильность из имеющейся на рынке цены опциона. Эту вмененную волатильность лучше всего рассматривать как нормировку цен опционов для более простого и интуитивного сравнения цен опционов по разным страйкам, экспирациям и базовым активам.

Если нарисовать график зависимости вмененной волатильности от цены страйков, линия обычно идет с наклоном вниз для рынков акций или образует долину для рынков валют. Для рынков, где график наклонен вниз, часто используется термин “наклон волатильности” (volatility skew). Для других рынков, таких как опционы на валюты или индексы акций, где обычно график идет вверх на обоих концах, используется привычный термин “улыбка волатильности”. На рынках акций иногда наблюдается небольшая наклоненная улыбка вблизи денег, как изгиб на общем наклоне вниз, иногда для таких скошенных улыбок используется термин “ухмылка волатильности”(volatility smirk).

Временная структура волатильности (term structure)

Для опционов различных сроков истечения тоже можно заметить различия во вмененной волатильности. Однако в этом случае, определяющим эффектом является ожидание рынком воздействия входящих событий. Например, хорошо замечено, что реализованная волатильность цены акции значительно вырастает в день, когда компания выпускает отчет о прибылях. Соответственно, вмененная волатильность опционов на акцию вырастает за период, предшествующий этому отчету, а после падает по мере того, как цена на акцию отрабатывает новую информацию. Опционы с более близкими экспирациями показывают более сильные колебания вмененной волатильности (иногда называемые “волатильностью на волатильность”, “vol of vol”), чем опционы с дальними экспирациями.

Другие опционные рынки показывают другое поведение. Например, опционы на товарные фьючерсы обычно показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед выходом прогнозов по урожаю. Опционы на фьючерсы на американские правительственные облигации показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед заседанием Federal Reserve Board (когда объявляются изменения в краткосрочных процентных ставках).

Рынок отражает много других типов событий во временной структуре волатильности. Например, влияние ожидаемых результатов испытаний лекарств может вызвать колебания вмененной волатильности акций фармацевтических компаний. Ожидаемые результаты патентных споров могут повлиять на акции технологических компаний и т.д.

Временная струкутура волатильности отражает взаимосвязь между вмененной волатильностью и временем до экспирации. Она дает еще один метод, с помощью которого трейдеры могут находить недооцененные или пероцененные опционы.

Поверхность волатильности

Часто бывает полезно отобразить график вмененной волатильности как функцию и цены страйков, и времени до экспирации. Результатом является трехмерная поверхность, где по оси Z отражена текущая рыночная вмененная волатильность для всех опционов базового актива, по оси Y цены страйков, по оси X время до экспирации.

Продолжаем рассматривать алгоритмы построения улыбки волатильности. В этой статье будем находить "справедливые" цены опционов при помощи модели Хестона, которая относится к так называемым моделям стохастической волатильности. Хестон предложил использовать в качестве модели базового актива систему следующих уравнений:

где - цена и волатильность базового актива соответственно, - случайные броуновские процессы с корреляцией . - это квадратичный процесс с возвратом к среднему (mean reverting) со средним значением и интенсивностью k. - среднеквадратичное отклонение волатильности, r - безрисковая ставка (для маржируемых равна 0, поэтому исключим сразу этот параметр для российского рынка).

Реальное статистическое распределение приращений цен базового актива плохо соответствует Гауссовскому распределению, на основе которого была получена формула Блэка-Шоулза. Модель Хестона может описывать разные стат. распределения, например, коэффициент может быть интерпретирован как корелляция между логарифмом приращения цены и волатильностью актива, что позволяет учитывать эффект "толстых хвостов" распределения. График плотности распределения приращения цены с разными значениями приведен в заглавии поста.

Цена европейского колл опциона для модели Хестона вычисляется по формуле:

Где

для j=1,2, где

Этот набор формул кажется сложным, однако решить их достаточно просто с помощью программы на C#, которая будет приведена ниже. Сложность составляет только вычисление интеграла с верхним бесконечным пределом в формуле для , который находится с помощью числового метода Гаусса-Лагендре в той же программе. Также, для упрощения, можно сократить число параметров, убрав из них меру риска , применив риск-нейтральный подход. В этом случае:

Функция расчета формулы Хестона на языке C#:

//a-нижний предел интеграла (равен 0) //b - верхний предел интеграла. Выбирается значение от 100 до 200, в зависимости от нужной точности //delta - вычисляется грек дельта, который равен значению Р1 в формуле Хестона double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r,double kappa,double theta, double sigma,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) { // Числовое интегрирование double int1=new double; double int2 = new double; double y; for (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Следующий шаг - определение пяти параметров (V - текущая волатильность). Для этого нужно откалибровать модель по наблюдаемым рыночным ценам опционов. Применяем стандартный метод - берем выборку цен для опционов разных страйков за определенный период времени (вместе со сроками до экспирации), при этом рыночной ценой опциона считаем среднюю цену между бидом и аском ( , и минимизируем следующее выражение, применяя нелинейный метод наименьших квадратов (МНК):

где - вектор параметров, - задаваемые веса (их выбор обсудим позже), N - размер выборки. Выражение в правой части означает,что полученные значения должны попадать в промежуток между бидом и аском наблюдаемых рыночных цен. Это ограничение, равно как и условие MathJax_Preview"> , останавливается и выдает не оптимальные значения. Таким образом, нахождение оптимальных параметров модели Хестона является нетривиальной задачей, и применяются следующие способы ее решения:

Веса можно задать в соответствии с формулой: . Это интуитивный выбор, основанный на том, что, чем шире спред, тем больше свобода выбора в значении цены опциона. Для российского рынка лучшая аппроксимация получалась у меня при выборе одинакового значения весов, равного 1, но я не брал в рассмотрение слишком дальние страйки.

Получив параметры модели Хестона, мы сможем вычислить цены опционов для любого страйка и периода до экспирации. Для наглядности мы сможем построить улыбку волатильности по значениям подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Шоулза, подставив в нее хестоновские цены опционов - см. график в начале поста.

Модель Хестона отражает реальное статистическое распределение приращений цены базового актива значительно лучше, чем это делает модель Блэка-Шоулза, в чем вы сможете убедиться, сравнивая реальные рыночные цены опционов с полученными по этой модели. Однако у нее есть один существенный недостаток, который проявляется в том, что, если до экспирации остается небольшой срок (около недели для российского рынка) цены крайних страйков модель определяет неверно, в терминах подразумеваемой волатильности - хвосты улыбки начинают расходиться:

Чтобы устранить этот недостаток мы должны перейти к применению модифицированной модели Хестона - модели Бэйтса, являющейся одной из лучших аппроксимаций, позволяющих с макимальной точностью находить "справедливые" цены опционов. Ее мы рассмотрим в следующей части цикла статей про улыбку волатильности.

1. Улыбка глазами робота
2. Блок автохеджера и скальперский скрипт на его основе
   
3. Опционы и стандартные торговые блоки (как скрестить ежа с ужом)
4. Опционы и нестандартные торговые блоки
5. ...

Историческая улыбка (по Блеку-Шолзу)

В соответствии с оригинальной методикой это прямая горизонтальная линия . Мы ее проводим на уровне исторической волатильности, которая должна быть предварительно посчитана скриптом HV (RW) или HV (ALL) (подробности можно освежить в ). Иногда опционы около денег котируются ниже уровня исторической волатильности. Если у Вас есть понимание, что эта ситуация продлится еще хотя бы несколько дней, их можно покупать и зарабатывать на дельте. Если же опционы котируются заметно выше уровня HV – их можно понемногу продавать. (Подробности этой простой торговой тактики рассматривались в .)

Стандартное обозначение – штриховая оранжевая линия. На верхней картинке можно увидеть, что уровень исторической волатильности фьючерса SiZ7 составляет 5.5% годовых.

Улыбки по котировкам опционов

Эта идея может показаться странной, но реальные заявки в стакане опционов тоже можно рассматривать как улыбку. Отдельно улыбка по аскам (оранжевые квадратики) и отдельно улыбка по бидам (голубые квадратики ). На нашем рынке маркет-мейкеров и других участников торгов мало. Это приводит к тому, что аски могут далеко отстоять от бидов или вообще отсутствовать. Эти улыбки сильно скачут и не подходят для вычисления греков. Основная их польза в том, что можно отслеживать котировки "отбившиеся от стада" и забирать их к себе. Предполагая, что любые "некрасивые" искажения улыбки рано или поздно будут компенсированы.

Биржевая улыбка

Тонкая сплошная голубая линия показывает теоретическую волатильность. Ее любезно сообщает нам Московская биржа . Биржевая улыбка существует даже для самых неликвидных контрактов (например опционы на привилегированный Сбербанк SPZ7 ). Она дает нам первичную точку опоры, когда в контракте вообще нет заявок и когда непонятно сколько должны стоить опционы. Иногда биржа делает грубые ошибки при построении этой линии. Западные площадки вообще не транслируют теоретическую стоимость опционов и поэтому биржевой улыбки там не существует.

Даже глядя в этот безжизненный рынок уже можно понять, что покупать опционы по 45% – плохая идея. И продавать по 15% – тоже не стоит. Но можно попробовать выставить заявки на продажу по 30% и на покупку по 20%. Вдруг найдутся те, кто мечтает купить опционы на SPZ7, но не может? Строгая теория говорит, что скорее всего Вы при этом останетесь в плюсе (конечно, если выравнивать дельту).

Наша благодарность и теплые слова – вполне достаточно. Эта улыбка больше не заслуживает внимания. Она непригодна для расчета греков и даже для оценки профиля позиции.

Рыночная улыбка

Раз мы понимаем, что биржевая улыбка – плохая (и по некоторым критериям нас не устраивает), значит надо нарисовать свою. За годы торговли опционами Алексей Каленкович выработал свою авторскую методику построения рыночной улыбки. Подробности этого подхода были изложены на вебинаре "Миллион за улыбку " (вероятно, есть и другие видео) и очных семинарах (в составе общей торговой методики). Конспективно изложим основные пункты:

• В некоторых абстрактных координатах имеется "правильный" "зародыш улыбки". Он гладкий, красивый, устойчивый. Алексей называет его "шаблон ".
• Дальше этот шаблон привязывается к реальному рынку. Для этого используется всего 3 параметра: волатильность на-деньгах, наклон на-деньгах, форма .
• Сначала выставляется волатильность на-деньгах . Это обеспечивает позиционирование всей кривой по вертикали.
  
• Затем выбирается наклон на-деньгах . Безразмерный параметр. Он мало зависит от времени до экспирации и от движения БА. Иногда наклон сохраняется неделями . Типичные значения наклона – 5-10 единиц. К моменту экспирации наклон уменьшается и тогда его можно принимать равным 0.
• Форма в основном отвечает за поведение краев улыбки (насколько круто будут подниматься крылья). Безразмерный параметр. Типичное "нормальное" значение формы для всех рынков и всех торговых инструментов – 0 единиц. Иногда улыбку слишком растягивают ближе к прямой линии – тогда форма становится отрицательной. Скажем, (-5) или (-10) единиц. Иногда рынок ждет какую-то новость и сильное движение. Тогда крылья улыбки задираются вверх и форма становится +5 .. +10 единиц.

Хотя TSLab может автоматически выполнить первичную привязку рыночной улыбки (на основании биржевой) – но после этого мы должны сами следить когда и на сколько поменять ее параметры. Это основная характеристика всего рынка и нужно внимательно следить, чтобы биржевая улыбка не уводила Вашу рыночную далеко от реальных котировок. Дело в том, что именно относительно рыночной улыбки выставляются заявки на котирование опционов. И если кто-то вдруг потащит биржевую улыбку вниз ниже бидов маркет-мейкеров, то Вы просто продадите им свой объем. А через 10 минут биржевая улыбка вдруг восстановится – и Ваши продажи вдруг станут нереализованным убытком.

На Доске Опционов биржевая улыбка отмечена как сплошная красная линия с желтыми кружочками на страйке. Если навести мышку на узел, появится всплывающая подсказка с теоретической ценой опциона в этом страйке.

Например, на этой картинке мы считаем адекватной цену декабрьского пута страйка 16 000 на фьючерс SPZ7 равной примерно 434 рубля.

По биржевой улыбке строится профиль позиции. Исключительно в справочных целях на основании профиля вычисляется рыночная дельта , гамма, вега и тета. Вычисления этих характеристик выполняется численным дифференцированием. Это спасает всех пользователей TSLab от типичных ошибок при вычислении греков. Авторы учебных пособий обычно не акцентируют внимание на том, как правильно дифференцировать стоимость портфеля по различным переменным в условиях, когда волатильность сама является функцией (от страйка и от времени до экспирации).

Модельная улыбка

Эту улыбку по смыслу точнее было бы называть "хеджевой ". Её единственное предназначение – расчет дельты для устранения риска движения Базового Актива . Но мы будем придерживаться авторской терминологии.

Идея этого трюка такая. Рыночная улыбка связана с прогнозом движения цены БА до экспирации. Это может быть месяц, квартал или год. Но это некоторая статическая характеристика рынка на длинном интервале времени . А нам нужно выполнять дельта хедж. Несколько раз в день. Может быть, несколько раз в час. Интуитивно понятно, что поведение цены на коротком интервале времени отличается от нашего усредненного ожидания на горизонте в месяц. Это понимание необходимо каким-то образом выразить.

И Алексей придумал модельную улыбку . Она начинается из того же самого шаблона, что и биржевая. Но модельная улыбка всегда имеет нулевой наклон и нулевую форму . Грубо говоря, она симметрична относительно цены БА. И еще мы как правило меняем ее положение по вертикали. Общая рекомендация состоит в том, чтобы модельная улыбка стояла примерно посередине между рыночной и исторической.

Эта улыбка обозначена сплошной белой линией. Она симметрична и мы поставили ее на высоту 12% волатильности на деньгах. При рыночной 15.3%, исторической 9.3%. Если верить, что до декабря ничего не произойдет серьезного, то нужно достаточно агрессивно шортить декабрьские опционы на RIZ7 . Но следует соблюдать риск-менеджмент и помнить о том, что иногда при переходе через ночь или через выходные бывает очень серьезный геп .

Портфельная улыбка

Портфельная улыбка возникает из желания оценивать текущий результат торговли. После формирования позиции хочется сразу понять насколько хорошими были цены сделок? Если мы ставили котировки на покупку ниже рыночной улыбки, на продажу – выше, то сколько рублей удалось при этом заработать? Если прошла неделя, хочется понимать мы в целом получаем или отдаем? Время идет, действительно ли наша позиция ведет себя как ожидается и переводит ожидаемую прибыль в реализованную?

До выхода TSLab версии 2.0.21 мы очень долго использовали для оценки прибыли рыночную улыбку. Это приводило к возникновению противоречия: чтобы котировать рынок, время от времени нужно подстраивать рыночную улыбку. Менять наклон, делать ее выше или ниже. Но при этом каждый раз происходит скачкообразное изменение прибыли позиции. Вчера был плюс, сегодня ноль. Пропадает понимание: это нас так распилил рынок неудачно, или мы сами подняли улыбку и получили переоценку позиции по веге?

Чтобы иметь правильное ощущение динамики прибыли, необходимо как можно реже менять параметры улыбки по которой эта прибыль рассчитывается.

Чтобы решить это противоречие пришлось добавить еще одну улыбку. Она служит для оценки текущей прибыли позиции. Обозначается сплошной зеленой линией.

Рекомендуем выбрать ее настройки перед началом формирования позиции в новой серии и далее менять их как можно реже. Когда будет понятно, что рынок уже изменил свое состояние и теперь вряд ли вернется к старым параметрам. Например, если в начале наклон рынка был +7 единиц и потом за неделю-две снизился до +3, то в этой ситуации уже можно отрегулировать наклон портфельной улыбки и сделать его +4 .. +5, потому что уже маловероятно, что за оставшееся небольшое время наклон снова увеличится до +7.

Управление видимостью линий

Если линий на графике становится много, лишние можно временно скрыть. Как правило, после настройки модельной и портфельной улыбки, их можно спрятать. Иногда мешают значки чужих заявок – тогда их тоже можно на время убирать. Нажатием в значок легенды раскрываем меню настроек. Слева от каждой линии есть чекбокс, который управляет ее видимостью.

Согласно допущениям модели Блэка-Шоулза, базисный актив характеризуется постоянным уровнем волатильности. Если эта посылка верна, то опционы на данный актив должны обладать одинаковой внутренней волатильностью вне зависимости от цен исполнения и сроков истечения контрактов. Однако практика показывает, что опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Аналогично разной внутренней волатильностью характеризуются опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Если для опционов с одним сроком истечения контрактов построить график зависимости между ценой исполнения и внутренней волатильностью, то он покажет, что эта зависимость является или квадратичной или монотонной. График квадратичной зависимости напоминает улыбку (см. рис. 12.3). Поэтому такая зависимость между ценой исполнения и внутренней волатильностью получила название “улыбки волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. До финансового кризиса октября 1987 г. улыбка волатильности была не сильно выражена. После кризиса она приобрела более выпуклую книзу форму и для ряда рынков перестала быть симметричной.
Условия паритета европейских опционов колл и пут предполагают, что они имеют одинаковое значение внутренней волатильности. Иначе открывается возможность совершить арбитражную операцию. Приблизительное равенство внутренних волатильностей выдерживается и для американских опционов. Поэтому график улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту характерна улыбка волатильности, представленная на рис. 12.3, т. е. она достаточно симметричена относительно опциона АТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. По сравнению с логнормальным распределением вероятностное распределение валютного курса с учетом данной формы улыбки волатильности характеризуется более толстыми хвостами и большей островершинностью. Это говорит о том, что валютный курс в большей степени испытывает сильные и слабые колебания, чем изменения средней степени. Улыбка волатильности также свидетельствует о том,

что инвесторы в равной степени страхуются как от роста, так и падения курса валюты.
Улыбка волатильности валютных опционов показывает, что опционы с большим выигрышем и большим проигрышем стоят на рынке дороже, чем это предполагается формулами, основанными на логнормальном распределении.
[
о I

АТЫ х
Рис. 12.3. Улыбка волатильности (а~ внутренняя волатильность, X- цена исполнения, А ТМ - опцион без выигрыша)
Объяснение формы графика улыбки волатильности можно связать с действиями центрального банка, который стремится поддерживать курс валюты своей страны на определенном уровне с помощью валютных интервенций. В то же время, при активном давлении игроков на валюту действия ЦБ могут оказаться безуспешными. В этом случае валютный курс качнется в одну сторону. Если же ЦБ выстоит, то курс может отклониться в противоположную сторону. Поэтому существует большая вероятность как стабильности курса, так и его значительных изменений.
Г рафик улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой (см. рис. 12.4). Вследствие его формы график могут назвать Ухмылкой волатильности”. Такой форме улыбки волатильности соответствует вероятностное распределение цены базисного актива, которое имеет более толстый левый хвост, более тонкий правый хвост и оно более островершинно по сравнению с логнормальным распеределением. Это говорит о том, что опцион колл с большим выигрышем и опцион пут с большим проигрышем будут стоить больше, чем это предполагается формулой Блэка-Шоулза, а опционы колл с большим проигрышем и пут с большим выигрышем соответственно меньше. Данная форма улыбки волатильности свидетельствует о том, что продавцы опционов считают более вероятным понести потери от продажи опционов пут с проигрышем, чем от опционов колл с проигрышем.
По мнению М. Рубинштейна возможное объяснение такой формы графика улыбки волатильности состоит в том, что после финансового кризиса 1987 г. участники рынка в большей степени стали опасаться повторения подобной ситуации. Поэтому они дороже оценивают опционы с более низкой ценой исполнения. Эту причину он назвал "кра- шофобией" - от английского слова “сгазЬрЬоЫа", т. е. боязнь краха.

Рис. 12.4. Ухмылка волатильности для акций и индексов

Еще одно объяснение можно связать с эффектом финансового рычага, т. е. соотношением между заемным и собственным капиталом компании. При росте курса акции финансовый рычаг уменьшается. В результате акция становится менее рискованной, и стандартное отклонение ее доходности падает. В случае падения цены бумаги финансовый рычаг возрастает, и увеличивается рискованность акции. Волатильность акции растет. Таким образом, в рамках данного подхода волатильность акции можно рассматривать как убывающую функцию ее цены.
Форма графика улыбки волатильности зависит от времени, которое остается до истечения опционов. В большинстве случаев она становится менее выраженной по мере увеличения срока действия контрактов.
Угол наклона кривой волатильности может служить для прогноза будущего направления движения цены базисного актива. Если кривая характеризуется сильным отрицательным наклоном, существует большая вероятность цены пойти вниз. Если наклон кривой положительный, то ожидают роста цены. Если форма кривой близка к прямой линии, то существенного движения цены не ожидается.
Для опционов ATM строят график зависимости между сроком истечения контрактов и внутренней волатильностью - он называется графином временной структуры волатильности. В долгосрочном плане динамика стандартного отклонения доходности базисного актива характеризуется возвращением его к определенному устойчивому среднему долгосрочному уровню (процесс mean reversion). Поэтому, если текущее стандартное отклонение доходности базисного актива ниже уровня его исторического среднего значения, то временная структура внутренней волатильности будет иметь восходящий характер. Если оно выше этого значения, то временная структура будет иметь нисходящий характер.
Обычно внутренняя волатильность для краткосрочных опционов больше, чем для долгосрочных, т. е. внутренняя волатильность краткосрочного опциона в большей степени зависит от движения цены базисного актива в течение торгового дня. Поэтому кривая временной структуры волатильности обычно имеет отрицательный наклон. Чем круче кривая, тем больше вероятность того, что в краткосрочном периоде возможно более сильное колебание цены базисного актива.
В динамике внутренней волатильности опционов замечен такой интересный факт. Она растет в преддверии важных экономических событий, которые ожидаются на рынке, например, сообщениях о макроэкономических показателях развития страны. После их обнародования она имеет тенденцию к уменьшению. Это можно объяснить тем, что до момента сообщения информации на рынке возрастает степень неопределенности по сравнению с обычными торговыми днями, а значит и риск торговли опционами. После сообщения информации неопределенность снижается, что вызывает уменьшение и внутренней волатильности опционов. Иногда это может сопровождаться ростом фактического стандартного отклонения доходности базисного актива.
В начале данной главы мы отметили, что внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно стандартного отклонения доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. Однако насколько верен такой прогноз. Можно ожидать, что в среднем внутренняя волатильность будет переоценивать фактическую будущую волатильность актива, поскольку она включает в себя еще премию за риск для участника опционного контракта.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Внутренняя волатильность представляет собой прогноз рынка относительно волатильности доходности базисного актива к моменту окончания срока действия опционного контракта. В основе ее расчета лежит метод подстановки.
Опционы на один и тот же актив с одинаковой ценой исполнения, но разными сроками истечения контрактов имеют разные внутренние стандартные отклонения. Разной внутренней волатильностью характеризуются и опционы с одинаковым сроком истечения, но разными ценами исполнения.
Зависимость между ценой исполнения для опционов с одним сроком истечения и внутренней волатильностью назвается “улыбкой волатильности”. Улыбка волатильности говорит о том, что будущее вероятностное распределение цены базисного актива не логнормально. График улыбки волатильности является одинаковым для опционов колл и пут.
Для опционов на валюту улыбка волатильности достаточно симметрична относительно опциона ЛТМ. Внутренняя волатильность возрастает по мере того как опционы становятся все с большим выигрышем или все с большим проигрышем. График улыбки волатильности для опционов на акции и индексы характеризуется нисходящей кривой.
Зависимость между сроком истечения опционов АТМи внутренней волатильностью называется графиком временной структуры волатильности.