С развитием рынка производных инструментов в России, актуальным становится анализ и использование возможностей, предоставляемых этим рынком.
В данном обзоре мы рассмотрим такие любопытные явления как “улыбка и ухмылка волатильности опционов”. А также возможные ситуации, связанные с данным явлением, и помощь, которую может оказать анализ или простое рассмотрение подобных ситуаций при принятии решений на классическом рынке акций.
Мы предполагаем, что читатель знаком с минимально необходимым объемом знаний об опционах и представляет, что опцион – это контракт, дающий право, но не обязывающий, купить или продать определенный актив по заранее установленной цене - цене страйк. Опцион, дающий право купить актив, называется опционом колл (call), а право продать – опционом пут (put). Опцион европейского типа исполняется только в дату погашения, в то время как американский опцион в любой день до этой даты по требованию владельца. Покупатель опциона может не требовать исполнения своего права по опциону, если ему это не выгодно, в то время как продавец обязан исполнить требование покупателя. За свое право покупатель выплачивает продавцу премию, размер которой и есть денежное выражение риска достижения базовым активом цены страйк, и является, по сути, ценой опциона, которая определяется в процессе торгов. Таким образом, убытки покупателя и доход продавца опциона всегда ограничены премией.

Важным фактором, влияющим на цену опциона, является волатильность базового актива. Волатильность, или стандартное отклонение в терминологии математической статистики, является мерой изменчивости базового актива, то есть, силы его ценовых колебаний. Более сильные исторические колебания цены актива дают большие значения волатильности. Как правило, волатильность рассчитывают на основе исторических временных рядов как среднеквадратичное отклонение логарифма цены актива, приведенное к годовому периоду. Расчитанная таким способом волатильность называется исторической (historical volatility, HV).
Разработано множество моделей определения взаимозависимости цены опциона и волатильности актива, но наиболее популярной является формула Блэка -Шоулза. Данная модель позволяет определить теоретическую стоимость опциона по исходным данным – цене базового актива и волатильности, цене страйк и времени до экспирации, процентной ставке и дивидендам. Но с помощью данной модели можно решить и обратную задачу, когда известными считаются все исходные параметры, кроме волатильности, вместо которой задается цена опциона, сложившаяся на торгах. Найденное таким образом значение называется подразумеваемой волатильностью (implied volatility, IV).
В формулах для теоретической стоимости опционов часто используется историческая волатильность, которая предполагается одинаковой для всех значений страйков. Если в этом случае изобразить график зависимости волатильности опционов одной серии от цены страйк при фиксированной цене базового актива, то он будет представлять горизонтальную прямую. На практике же, подразумеваемые волатильности опционов одного срока погашения, как правило, не совпадают. И при использовании сложившихся на торгах цен опционов и соответствующую им подразумеваемую волатильность, на графике можно увидеть так называемую "улыбку волатильности" (volatility smile). (Рис.1.)

Рис.1. “Улыбка волатильности”. Пример кривой волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС.

Такая форма кривой имеет простое объяснение: дело в том, что фактическое распределение дневных изменений цены отличается от принятого в теории логнормального. Это, в первую очередь, связано с большим эксцессом, свойственным реальному распределению плотности вероятности, имеющему "тяжелые хвосты", где вероятность резких движений базового актива выше, чем при логнормальном. Как следствие, опционы “глубоко вне денег” имеют более высокую подразумеваемую волатильность, а, соответственно, и цену, чем теоретическая. То есть продавцы опционов учитывают более высокую вероятность существенных колебаний, по сравнению с логнормальным распределением, которая для них может быть сопряжена со значительными и даже, возможно, необратимыми убытками, что особенно характерно для опционов глубоко вне денег. Именно в целях устранения дисбаланса риска продавцы увеличивают цену продажи этих опционов по сравнению с теоретическими, от которых реальные значения могут отличаться в несколько раз, как в денежном выражении, так и в значениях волатильности, соответственно.
Но гораздо большее значение для рыночных игроков имеет не сама улыбка волатильности, а ситуации, когда кривая становится несимметричной. В случаях, когда асимметрия кривой становится заметной, улыбку принято называть "ухмылкой волатильности" (volatility smirk). Причем, асимметрия может наблюдаться как в правую, так и в левую сторону, то есть мы получаем правую или левую ухмылку, соответственно. Наклон края улыбки называется “наклоном” или “перекосом волатильности” (volatility skew). Если на графике присутствует ухмылка, это говорит о наличии повышенного риска движения цены базового актива в определенном направлении, а величина наклона кривой частично о силе таких ожиданий.
Такая ситуация возникает тогда, когда рынок “предполагает”, что в одном из направлений возможно более значительное и резкое изменение цены базисного актива, чем в другом. То есть рыночные игроки ожидают большего движения котировок в ту сторону, в которую смещена улыбка. Например, если ожидается более резкое падение цены, то подразумеваемая волатильность опционов пут вне денег будет больше, чем у опционов колл вне денег, чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой по отношению к правой, то есть мы видим на графике левую ухмылку.
Особенно выжным показателем становится наклон или скручивание ухмылки волатильности в периоды после обвальных падений, таких как в результате текущего финансового кризиса. В периоды после таких падений кривая почти всегда имеет форму левой ухмылки. Причиной такой формы является “крахофобия” трейдеров и инвесторов, у которых свежа память о последнем обвале, что и отражается в цене путов глубоко вне денег. Таким образом, в посткризисные периоды, стоит обращать внимание на наклон ухмылки волатильности, изменение которого и будет сигнализировать об изменении ожиданий рыночных игроков.
Например, на рис.2 представлены кривые волатильности для опционов на индекс РТС с разными сроками исполнения (12 и 74 дня). График построен на основе данных на конец дня 02.07.2009 по результатам торгов на рынке FORTS, и мы видим на нем ухмылку волатильности с большим наклоном. То есть участники рынка предполагали более резкое падение цены, чему они и нашли подтверждение в ходе последующего движения рынка. Как мы видим на рис.3 в последующие два торговых дня наблюдалось достаточно существенное снижение индекса РТС, то есть ожидания игроков полностью оправдались и отразились в котировках акций, входящих в индекс.

Рис.2.”Ухмылка волатильности”. Кривая волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС от 02.07.2009

Рис.3.Динамика индекса РТС в период с 16.06.2009 по 06.07.2009

Рис.4.”Ухмылка волатильности”. Пример правой асимметрии для фьючерсов на опционы на золото.

Другой разновидностью ухмылки волатильности опционов является правая ухмылка. Пример такой ситуации представлен на рисунке 4, и говорит о том, что трейдеры ожидают более резкого движения вверх базового актива, нежели вниз. Такую ухмылку можно использовать как сигнал к покупке актива, если предположить, что профессиональные игроки рынка в большинстве своем не ошибаются. Причем, как мы уже говорили, в посткризисный период такую ухмылку достаточно трудно увидеть, и необходимо ориентироваться на изменение наклона левой ухмылки. Уменьшение наклона или переход к симметричной форме улыбки в течение времени уже может сигнализировать об улучшении настроений трейдеров.
В качестве примера на рис.5 представлено изменение формы улыбки волатильности опционов на фьючерс на индекс РТС с исполнением 14.09.2009. “Срезы” сделаны на 02.07.2009 и начало дня 07.07.2009, и, теперь, если мы сопоставим формы улыбки волатильности с графиком движения индекса РТС в этот период, то мы сможем заметить, что существенное снижение индекса было “предсказано” большим наклоном левой ухмылки кривой 02.07.2009, когда отношение волатильности симметричных путов и коллов глубоко вне денег достигало 1,30. После чего последовало двухдневное резкое падение индекса, а в начале торгового дня 07.07.2009 в начале отскока ухмылка волатильности уже имела гораздо меньший наклон с соотношением 1,13, сигнализируя тем самым о локальном изменении настроений инвесторов.

Рис.5.Изменение наклона ухмылки волатильности.

Таким образом, даже минимальный анализ на основе кривой волатильности производных инструментов на индекс РТС позволяет определить настроения рыночных игроков. Тем более полезным это может быть, так как используемые в нашей стране торговые платформы и программы позволяют организовать экспорт необходимых данных в любые электронные таблицы для последующего простого анализа.
Параллельно с тем фактом, в контанго или бэквордации торгуются фьючерсы на индекс РТС, ухмылка кривой волатильности опционов является простым, информативным и доступным индикатором настроений трейдеров, и может являться хорошим дополнением к техническому анализу графиков для прогнозирования дальнейшего движения и определения точек входа и выхода. Мы не утверждаем, что это универсальный индикатор: он, как и другие, не исключает ошибок и ложных сигналов, но, все же, это хорошее дополнение к существующим методам, тем более с учетом того, что на рынке производных работают в основном профессионалы, чьи ожидания и отражаются в форме кривой. И, несомненно, эти смайлы не помешает учитывать при принятии решений на рынке акций, чтобы потом грустно не ухмыльнуться.

Мы расскажем вам о волатильности, улыбке рынка, которая может растянуться на всю ширину и принести доход, или превратиться в ужасную гримасу и тогда ничего, кроме убытка не получится.

Считают показатель тенденции финансового инструмента изменять свою котировку во времени. Если говорить иначе, это диапазон от минимума к максимуму за некоторый промежуток времени. А если говорить словами детей, то это «улыбка» . Чем шире эта «улыбка», тем более рисковым является инструмент, и тем .

Все финансовые инструменты наделены своей собственной уникальной волатильностью. Обратите внимания можно измерить не только суточную волатильность, но и внутриторговосессионную.

Например, европейская или лондонская сессия является самой крупной на рынке Форекс, она обладает самой широкой волатильностью. Тут проводится самое большое число трансакций. До 30% от всего объема сделок за сутки. Сессия открывается по Гринвичу в 6 утра, в летнее время, закрывается в 14:00 в зимний период на час позже (читай — ). Во время сессии, среднее по всем основным парам составляет 80 пунктов. Суточная волатильность торговой пары ФунтФранк и ФунтЙена примерно 140 пипсов.

Самые торгуемые пары в лондонскую сессию ДолларФранк, ФунтДоллар, ДолларКанадскийДоллар, ЕвроДоллар. Рассчитав волатильность по этим торговым парам можно точно установить уровень риска для ордеров стоп-лосс и .

Интересный факт говорит нам о том, что когда лондонская сессия закрывается, многие крупные инвесторы берут и переводят свои деньги в Америку из Европы. Это связано с началом нью-йоркской сессии. Она вторая по объему продаж на рынке валютных операций Форекс. Это знание помогает при разработке системы для торговли. В нью-йоркскую торговую сессию самыми популярными считаются пары ФунтФранк, ФунтЙена, а также те же, что в лондонскую сессию.

Среднесуточный диапазон тут может составить 120 пипсов. Нью-йоркская сессия летом обслуживает клиентов с 12 до 20 по Гринвичу. Максимальная волатильность за торговые сутки будет наблюдаться в интервале с 12:00 до 14:00, когда европейская и американская сессии работают одновременно.

Токийская сессия работает с 0:00 до 8:00 по Гринвичу. Тут наиболее интересно торговать ФунтомФранком, и ФунтомЙеной. Среднесуточный диапазон равен примерно 100 пипсам.

Если вам удалось выявить различия торговых сессий, то у вас в руках система знаний , которая может стать прибыльной торговой системой для внутривременных зон. Такая система учтет продолжение тенденций или отката от ценовых уровней.

Учёт волатильности в каждой из временных зон позволит создать доходную торговую систему.

А вот как о волатильности говорят в последних новостях.

На всех рынках в ближайшие дни будет наблюдаться влияние , которые объединяют ключевые показатели.

Это ВВП США за III квартал и данные об уровне безработицы в сентябре. Также рынок продолжит находиться в ожидании комментариев главы ФРС об итогах последнего заседания, которое прошло 29-30 сентября, а также результатов прошедшего в конце недели заседания ЕЦБ. Может быть снижена ставка на фоне слабой статистики. Все эти ожидания поспособствуют высокой волатильности на рынке.

Улыбка волатильности – это графическое отображение ожидаемого уровня волатильности по опционам с одинаковым базовым активом и разными страйками. Ожидаемая волатильность в опционах распределяется не равномерно, что четко видно по цифрам на рисунке ниже, где представлена доска опционов по декабрьским фьючерсам на обыкновенные акции Сбербанка.

Самая низкая волатильность наблюдается вблизи центрального страйка (т.е. страйка, наиболее приближенного к текущей рыночной цене). Чем страйк выше или ниже от текущей рыночной стоимости, тем волатильность больше.

Улыбка волатильности по данному инструменту выглядит так, как показано на картинке ниже. График построен в программе . По вертикали в процентах отмечена волатильность, по горизонтали – страйки или цены исполнения.

На графике улыбки невооруженным глазом наблюдается еще одна закономерность: если цена на базовый актив падает, то волатильность по соответствующим опционам растет быстрее, чем если цена на БА растет. Поэтому ее еще называют кривая улыбка волатильности. Почему улыбка волатильности выглядит именно так? Скажу сразу, что такая форма улыбки характерна преимущественно для фондовых активов, т.е. акций, облигаций, индексов на акции и др. Ее форма отражает исторически сложившуюся экономическую закономерность о том, что при прочих равных условиях фондовые активы растут гораздо медленнее, чем падают в какие-то кризисные моменты.

Другими словами, рост происходит достаточно плавно, цена осторожно, потихоньку поднимается, ведь фактически, рост – это отражение длительных позитивных рыночных тенденций. Но если случается какой-то кризис, или просто начинается коррекция, то цена снижается весьма резко. Поэтому конечно опционы на фондовые активы учитывают эту особенность в улыбке. При прочих равных условиях, путы с нижними страйками будут стоить дороже, чем коллы с верхними страйками. А поскольку путы стоят дороже, то и волатильность у них тоже должна быть больше. Отсюда следует тот факт, что продавцы путов зарабатывают больше (на премии), чем продавцы коллов, потому что риски резкого падения всегда гораздо больше, чем риски резкого роста.

По разным базовым активам улыбка волатильности будет выглядеть по-разному, это связано со спецификой самого инструмента, а точнее с особенностями движения его цены в историческом аспекте. Про фондовые активы я уже сказала, а вот на валютах данная линия будет выглядеть по-другому. На рисунке ниже приведен график улыбки для опционов с базовым активом фьючерс на пару евро/рубль.

В данном случае она ломаная, при этом диапазон ее колебания очень узок и находится в пределах от 20% до 28% (в то время как по акциям Сбербанка разброс составлял от 30% до 100%). Данный график свидетельствует о том, что ожидания трейдеров относительно будущей стоимости евро-рубль как вверх, так и вниз примерно одинаковы, т.е. при благоприятном внешнем фоне трейдеры не ждут резкого роста, равно как и при негативном сценарии никто не ждет резкого обвала. По товарным инструментам (опционы на фьючерсы на золото и на нефть) улыбка волатильности будет наклонена в сторону роста, т.е. трейдеры роста ожидают сильнее, нежели падения.

Итак, улыбка волатильности это линия, которая отражает уровень ожидаемой волатильности для с разными страйками по одному базовому активу. В теории эта линия всегда должна быть прямой, ведь по формуле Блэка-Шоулза (по которой рассчитывается ) предполагается, что волатильность одинакова для всех страйков. Однако на практике этого не наблюдается, напротив, по дальним страйкам она сильно смещена. Биржа рассчитывает улыбку исходя из текущих цен на опционы.

Улыбка волатильности — это аномальный паттерн на опционов. Для конкретной экспирации, опционы, чьи страйки сильно отличаются от текущей цены базового актива (то есть опционы глубоко-вне-денег и опционы глубоко-в-деньгах), показывают более высокие цены (и, следовательно, более высокую вмененную волатильность), чем этого требует стандартная модель оценки опционов.

График зависимости вмененной волатильности от цены страйка для конкретной экспирации дает сдвинутую “улыбку” вместо ожидаемой плоской поверхности. Паттерн различается по рынкам. Опционы на акции, торгуемые на американских рынках, не показывали улыбки волатильности до краха 1987 года, но стали показывать ее после. Считается, что переоценка инвесторами вероятности событий “черного лебедя” привела к более высоким ценам для опционов вне денег. Эта аномалия указывает на неэффективность стандартной модели оценки опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes), которая считает константой, а изменения цен базового актива логнормальными. Эмпирические распределения ценовых изменений, однако, склонны показывать “ ” (эксцесс) и ассимметрию. Моделирование улыбки волатильность — активная область исследований в количественных финансах, так же, как и поиски лучшей модели оценки цен опционов, например, через модели стохастической волатильности.

Вмененная волатильность и улыбка волатильности

В модели Блэка-Шоулза теоретическая стоимость простого опциона — монотонно возрастающая функция волатильности базового актива. Следовательно, за исключением случая американских опционов с дивидендами, чье раннее исполнение может быть оптимальным, цена это строго возрастающая функция волатильности. Это значит, что обычно возможно вычислить уникальную вмененную волатильность из имеющейся на рынке цены опциона. Эту вмененную волатильность лучше всего рассматривать как нормировку цен опционов для более простого и интуитивного сравнения цен опционов по разным страйкам, экспирациям и базовым активам.

Если нарисовать график зависимости вмененной волатильности от цены страйков, линия обычно идет с наклоном вниз для рынков акций или образует долину для рынков валют. Для рынков, где график наклонен вниз, часто используется термин “наклон волатильности” (volatility skew). Для других рынков, таких как опционы на валюты или индексы акций, где обычно график идет вверх на обоих концах, используется привычный термин “улыбка волатильности”. На рынках акций иногда наблюдается небольшая наклоненная улыбка вблизи денег, как изгиб на общем наклоне вниз, иногда для таких скошенных улыбок используется термин “ухмылка волатильности”(volatility smirk).

Временная структура волатильности (term structure)

Для опционов различных сроков истечения тоже можно заметить различия во вмененной волатильности. Однако в этом случае, определяющим эффектом является ожидание рынком воздействия входящих событий. Например, хорошо замечено, что реализованная волатильность цены акции значительно вырастает в день, когда компания выпускает отчет о прибылях. Соответственно, вмененная волатильность опционов на акцию вырастает за период, предшествующий этому отчету, а после падает по мере того, как цена на акцию отрабатывает новую информацию. Опционы с более близкими экспирациями показывают более сильные колебания вмененной волатильности (иногда называемые “волатильностью на волатильность”, “vol of vol”), чем опционы с дальними экспирациями.

Другие опционные рынки показывают другое поведение. Например, опционы на товарные фьючерсы обычно показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед выходом прогнозов по урожаю. Опционы на фьючерсы на американские правительственные облигации показывают увеличение вмененной волатильности прямо перед заседанием Federal Reserve Board (когда объявляются изменения в краткосрочных процентных ставках).

Рынок отражает много других типов событий во временной структуре волатильности. Например, влияние ожидаемых результатов испытаний лекарств может вызвать колебания вмененной волатильности акций фармацевтических компаний. Ожидаемые результаты патентных споров могут повлиять на акции технологических компаний и т.д.

Временная струкутура волатильности отражает взаимосвязь между вмененной волатильностью и временем до экспирации. Она дает еще один метод, с помощью которого трейдеры могут находить недооцененные или пероцененные опционы.

Поверхность волатильности

Часто бывает полезно отобразить график вмененной волатильности как функцию и цены страйков, и времени до экспирации. Результатом является трехмерная поверхность, где по оси Z отражена текущая рыночная вмененная волатильность для всех опционов базового актива, по оси Y цены страйков, по оси X время до экспирации.

Продолжаем рассматривать алгоритмы построения улыбки волатильности. В этой статье будем находить "справедливые" цены опционов при помощи модели Хестона, которая относится к так называемым моделям стохастической волатильности. Хестон предложил использовать в качестве модели базового актива систему следующих уравнений:

где - цена и волатильность базового актива соответственно, - случайные броуновские процессы с корреляцией . - это квадратичный процесс с возвратом к среднему (mean reverting) со средним значением и интенсивностью k. - среднеквадратичное отклонение волатильности, r - безрисковая ставка (для маржируемых равна 0, поэтому исключим сразу этот параметр для российского рынка).

Реальное статистическое распределение приращений цен базового актива плохо соответствует Гауссовскому распределению, на основе которого была получена формула Блэка-Шоулза. Модель Хестона может описывать разные стат. распределения, например, коэффициент может быть интерпретирован как корелляция между логарифмом приращения цены и волатильностью актива, что позволяет учитывать эффект "толстых хвостов" распределения. График плотности распределения приращения цены с разными значениями приведен в заглавии поста.

Цена европейского колл опциона для модели Хестона вычисляется по формуле:

Где

для j=1,2, где

Этот набор формул кажется сложным, однако решить их достаточно просто с помощью программы на C#, которая будет приведена ниже. Сложность составляет только вычисление интеграла с верхним бесконечным пределом в формуле для , который находится с помощью числового метода Гаусса-Лагендре в той же программе. Также, для упрощения, можно сократить число параметров, убрав из них меру риска , применив риск-нейтральный подход. В этом случае:

Функция расчета формулы Хестона на языке C#:

//a-нижний предел интеграла (равен 0) //b - верхний предел интеграла. Выбирается значение от 100 до 200, в зависимости от нужной точности //delta - вычисляется грек дельта, который равен значению Р1 в формуле Хестона double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r,double kappa,double theta, double sigma,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) { // Числовое интегрирование double int1=new double; double int2 = new double; double y; for (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Следующий шаг - определение пяти параметров (V - текущая волатильность). Для этого нужно откалибровать модель по наблюдаемым рыночным ценам опционов. Применяем стандартный метод - берем выборку цен для опционов разных страйков за определенный период времени (вместе со сроками до экспирации), при этом рыночной ценой опциона считаем среднюю цену между бидом и аском ( , и минимизируем следующее выражение, применяя нелинейный метод наименьших квадратов (МНК):

где - вектор параметров, - задаваемые веса (их выбор обсудим позже), N - размер выборки. Выражение в правой части означает,что полученные значения должны попадать в промежуток между бидом и аском наблюдаемых рыночных цен. Это ограничение, равно как и условие MathJax_Preview"> , останавливается и выдает не оптимальные значения. Таким образом, нахождение оптимальных параметров модели Хестона является нетривиальной задачей, и применяются следующие способы ее решения:

Веса можно задать в соответствии с формулой: . Это интуитивный выбор, основанный на том, что, чем шире спред, тем больше свобода выбора в значении цены опциона. Для российского рынка лучшая аппроксимация получалась у меня при выборе одинакового значения весов, равного 1, но я не брал в рассмотрение слишком дальние страйки.

Получив параметры модели Хестона, мы сможем вычислить цены опционов для любого страйка и периода до экспирации. Для наглядности мы сможем построить улыбку волатильности по значениям подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Шоулза, подставив в нее хестоновские цены опционов - см. график в начале поста.

Модель Хестона отражает реальное статистическое распределение приращений цены базового актива значительно лучше, чем это делает модель Блэка-Шоулза, в чем вы сможете убедиться, сравнивая реальные рыночные цены опционов с полученными по этой модели. Однако у нее есть один существенный недостаток, который проявляется в том, что, если до экспирации остается небольшой срок (около недели для российского рынка) цены крайних страйков модель определяет неверно, в терминах подразумеваемой волатильности - хвосты улыбки начинают расходиться:

Чтобы устранить этот недостаток мы должны перейти к применению модифицированной модели Хестона - модели Бэйтса, являющейся одной из лучших аппроксимаций, позволяющих с макимальной точностью находить "справедливые" цены опционов. Ее мы рассмотрим в следующей части цикла статей про улыбку волатильности.